递推及其应用

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1、递推及其应用一、教学内容分析从生活实际和数学背景中提出递推数列进行研究，会解决简单的有关递推数列的问题。增强学生的分析问题能力，揭示研究问题、解决问题的基本策略.【教学重点】递推的定义，递推的思想方法，递推式的建立.【教学难点】运用递推思想解决具体、实际问题，正确建立递推式.二、教学主要目标【知识与技能】理解递推公式的定义，初步学会从生活实际和数学背景中提炼出递推数列进行研究.【过程与方法】经历研究问题的一般过程，探索实际情境中递推公式的运用，渗透递推思想解决问题的基本思路。体验“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等思维过程，增强自主

2、学习、思考问题的能力.【情感、态度与价值观】精心设置问题情境，激发学生学习兴趣，唤起对现实世界中的数学现象的好奇心。尝试从数学的角度发现和提出问题，主动进行探索、研究和解决.三、教学过程与设计【引入】1．观察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，概括这个数列的特征。由兔子繁殖问题引出的数列，称为斐波那契数列。2．递推公式的定义：一般地，可以通过给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做数列的递推公式。教学设计说明：利用有趣的斐波那契数列引入

3、，激发起学生研究递推问题的兴趣，揭示数列的递推公式是给出数列的一种重要方法。它可以大大扩展我们研究数列的范围。【常用递推关系】例1．（1）根据下列递推关系，写出数列的通项公式：①；②；③；（2）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有___________个点.。。。。。。。。。。①②③④⑤教学设计说明：研究相邻两项的关系，即从局部入手，研究整体性质。通过上述两例进一步“热身”，揭示“递推”作为一个基本概念，“递推法”更是一种重要的方法。帮助学生体

4、验、联想“递推”，并在此基础上进一步建立相关的“递推式”.【递推及其应用】例2：意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状各异的一块块。他们发现，每一个确定的刀数，都可以有一个最多的块数。例如，切一刀最多切成2块、切2刀最多切成4块。问切5刀最多可切几块？1．问题的解决：，，，，，思考：能否将上述问题抽象为一个数学问题？2．抽象为数学问题：平面上有条直线两两相交，且任三条不交于一点，问它们把平面分割成多少个不同的区域？解：设条直线相交将平面分割为个部分，则当添加上第条直线后，第条直线与原条直线相交有个交点，这个交点将条直线分割成段，而每一

5、段将它所经过的区域一分为二，从而增加了个区域，因此条直线把平面分成的区域为：；易得.思考：我们可以进一步思考什么问题？如何解决？3．寻求拓展的方向：a)纵向：点分线、线分面、面分空间；（维数的变化）b)横向：封闭图形划分平面成多少个区域；如：平面个圆，最多将此平面分割成多少个的区域？.教学设计说明：通过将分匹萨饼问题抽象为一个数学问题，经历研究问题的一般过程，探索实际情境中递推公式的运用，渗透递推思想解决问题的基本思路。例3：《猴子分桃》有5只聪明的猴子，有一天它们得到了一堆桃子，它们发现那堆桃子不能被均匀分5份，于是猴子们决定先去

6、睡觉，明天再讨论如何分配.夜里，猴子A偷偷起来，吃掉了一个桃子后，它发现余下的桃子正好可以平均分成5份，于是它拿走了一份；接着猴子B也起来先偷吃了一个，结果它也发现余下的桃子恰好可以被平均分成5份，于是它也拿走了一份.后面的猴子C、D、E依次如法炮制，先偷吃一个，然后将余下的桃子平均分成5份并拿走了自己的一份，问：这一堆桃子至少有几个？思考方向1：试验，枚举1．如果猴子E拿走了1个桃子，那么包括它吃掉的那个，应该看到了6个桃子；猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是6个，显然不是4的倍数，矛盾！2．如果猴子E拿走了2个桃子，那么包括它吃掉的

7、那只，应该看到了11只桃子；猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是11个，显然还不是4的倍数，矛盾！……3．如果猴子E拿走了5个桃子，那么包括它吃掉的那只，应该看到了16只桃子；猴子D连吃带拿后剩下的桃子就是16个，是4的倍数，好像已经满足了条件，猴子C连吃带拿后剩下的桃子就是21个，还不是4的倍数，矛盾！难道就这样试验下去？累也……思考方向2：参数、列式设最后的猴子E占有的桃子个，那么它所看到的桃子总共有个；猴子D看到的桃子……猴子A看到的桃子，即原有的桃子总数X；运算复杂，繁也……妙解：设桃子总数为X，则猴子A拿走的桃子数；则猴子B拿走

8、的桃子数；猴子C拿走的桃子数……揭示递推关系：，得.即所以，则必然是的倍数，要使值最小，则.教学设计说明：1.在经历一系列的铺垫后，学生能初步体会运用递推的思想解决实际问题。经过枚举、试验等方法，师生可以一起来判别选择什么方法进行解决