高中数学空间向量及其运算

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1、第6课时　空间向量及其运算2014高考导航考纲展示备考指南1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.1.空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行、垂直、夹角问题的基础．2.以向量及其运算为工具证明平行、垂直以及求空间角是高考的热点；同时，借助对空间几何体中的平行、垂直的证明以及空间角的求解考查向量及其运算．题型多以解答题的形式出现，考查

2、学生的运算能力及运用知识分析问题、解决问题的能力．3.用数量积解决空间中的垂直问题是高考的热点.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基1．空间向量的基本定理(1)共线向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数x，使a＝xb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.(3)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯

3、一一组有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做___________基向量．思考探究若a与b确定平面为α，则用a，b表示c的有向线段与α的关系是怎样的？提示：可能与α平行，也可能在α内．(3)两个向量数量积的性质①a·e＝

4、a

5、cosa，e(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔a·b＝0；③

6、a

7、2＝a·a；④

8、a·b

9、≤

10、a

11、

12、b

13、.(4)两个向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a；③(a＋b)·c

14、＝a·c＋b·c.3．空间向量的直角坐标运算(1)已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则①a＋b＝________________________；②a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；③λa＝______________________；④a·b＝________________________.(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z2(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．课前热身答案：C答案：B答案：A4．(201

15、3·营口调研)已知空间三点A、B、C的坐标分别为(0,0,2)、(2,2,0)、(－2，－4，－2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为________．答案：(－8,6,0)答案：②③④考点探究讲练互动例1【名师点评】(1)空间向量的坐标运算，关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系，并熟练掌握运算公式．(2)用不共面的向量表示某一向量时，关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中，然后根据三角形法则或平行四边形法则，把未知向量用已知向量表示出来．跟踪训练例2例3

16、【名师点评】(1)用基向量解决问题，首先要选取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求．(2)注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别与联系．跟踪训练2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．名师讲坛精彩呈现例【答案】0【名师点评】法一属常规解法，运算较繁，而法二构造了特殊的几何体——正四面体，并应用了正四面体的对棱相互垂直的结论，从而减少了运算量，准确率也得到提高．跟踪训练3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1

17、C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放