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《09-3 离散数据曲线拟合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07032-4h第三章数据拟合知识点：曲线拟合，最小二乘法。离散数据曲线拟合（1）曲线拟合问题实践活动中，如果只能观测或测量到函数y=f(x)的一组离散的实验数据:(xi,yi)，i=0.1.2…,n。则当这些数据比较准确时，可以构造插值函数j(x)逼近f(x),只要满足插值原则:j(xi)=yi(i=0.1.2…,n)如果离散数据序列(xi,yi)带有不可避免的误差（噪音）：插值原则限定可能使误差保留和扩散。如果在非插值节点处插值函数j(x)不能很好近似f(x)，误差可能很大。如果实验数据很多，因插值节点多,得到的插值多项式的次数
2、较高：不仅计算量过大,而收敛性和稳定性不能保证,会出现龙格现象,逼近效果不好！于是，构造的逼近函数j(x)最优靠近样点（如图）成为理想选择，即向量T=（j(x0)，j(x1)，…j(xn)）与Y=（y0，y1，。。。，yn）的误差和距离最小。按T和Y之间误差最小原则作为最优标准构造的逼近函数称拟合函数。2442········-4-2样点y=j(x)如何为f(x)找到一个既简单又合理的逼近函数j(x)？通常采用曲线拟合方法来处理，曲线拟合就是构造近似函数j(x)，在包含全部基节点xi(i=0.1.2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x)，不必满足插值原则。这类问题称曲线拟合问题，近似函
3、数y=j(x)称经验公式或拟合曲线或函数。拟合法则根据数据集(xi,yi)，i=0.1.2…,n找出其间合适的数学公式，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的曲线j(x)，4《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社2008年4月第三版第三章数据拟合2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07032-4h不要求曲线j(x)通过所有的点(xi,yi)，但要求这条曲线j(x)能尽可能靠近这些数据点或样点，即各点误差δi=j(xi)-yi按某种标准达到最小。通常用误差的2-范数平方（均方误差或误差平方和）2220nii==∑dd作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小—最小二乘
4、原理作为最优标准构造拟合曲线的方法为曲线拟合的最小二乘法。（2）多项式拟合①线性拟合给定一组(xi,yi)，i=0.1.2…,n。构造线性拟合函数p1(x)=a+bx，使均方差22d20nii==∑d20ni==∑(p1(xi)-yi)20ni==∑(a+bxi-yi)=F(a,b)达到最小。即如何选择a、b，使F(a,b)达到最小，转化为求多元函数F(a,b)极小值问题。F(a,b)取极小值应满足0ni==∑(a+bxi-yi)=F(a,b)a020ni==∑(a+bxi-yi)=F(a,b)b02xi整理得到拟合曲线满足=0ni=∑xiyiyi0ni=∑ba0ni=∑xin20ni
5、=∑xi0ni=∑xi上式称为拟合曲线的法方程组或正则方程组。用消元法或克莱姆法则求解方程组得=a0ni=∑xi0i=∑xiyi-20ni=∑xi0ni=∑yin）（/n20ni=∑xi20ni=∑xi（）-（）bn0i=∑xiyiyi0ni=∑0ni=∑xin-（）n20ni=∑xi20ni=∑xi（）-（）=/得到均方误差意义下的拟合函数p1(x)。②二次拟合4《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社2008年4月第三版第三章数据拟合2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07032-4h给定一组(xi,yi)，i=0.1.2…,n。用二次多项式拟合这组数据。2设p2
6、(x)=a0+a1x+a2x，作出拟合函数与数据序列的均方误差：=20ni==∑(a0+a1xi+a2xi-yi)F(a0,a1,a2)2(22d20nii==∑d)20ni=∑(p2(xi)-yi)类似线性拟合，根据最小二乘和极值原理:=00ni==∑(a0+a1xi+a2xi-yi)Fa0220ni==∑(a0+a1xi+a2xi-yi)xiFa122=00ni==∑(a0+a1xi+a2xi-yi)xiFa2222=0整理得到二次多项式函数拟合的法方程:=0ni=∑xin20ni=∑xi20ni=∑xi0ni=∑xi30ni=∑xi30ni=∑xi0ni=∑xi40ni=∑xi2
7、a1a0a20ni=∑xiyiyi0ni=∑0ni=∑xiyi2解法方程，便得到均方误差意义下的拟合函数p2(x)。不过当多项式的阶数n>5时，法方程的系数矩阵病态。计算中要用双精度或一些特殊算法以保护解得准确性。③一般情况{}0(x)mkj{}0(x)mkj给定一组(xi,yi)，i=0,1,2…,n。在函数类{（m
