和与差的对数公式张先胜

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1、和与差的对数公式(作者:重庆合川农办张先胜)(2009年7月)关键词：和与差的对数摘要：本文导出和与差的对数公式。常见积、商、幂的对数公式，本文导出和与差的对数公式。一、对数的定义、基本性质、积商幂的对数公式(一)对数的定义若ax=b,(a>0,a≠1),则x叫做b的以a为底的对数，记为x=logab。（二）对数的基本性质1、根据对数的定义，x=logablogab=x=logab则ax=b=alogab即alogab=b2、根据任何数的0次方等于1,a0=1，由对数的定义得：loga1=03、根据任何数的1次方，等原数，a1=a，由对数的定义得：logaa=1（三）幂的对数公式4根

2、据代数恒等式ax=ax由对数的定义得logaax=x（基本性质4）(四)积的对数公式设logaM=p,logaN=q,（M>0，N>0），由对数的定义，知M=ap,N=aq又因为M·N=ap·aq=ap+q,所以loga(M·N)=logaa(p+q)（根据幂的对数公式）=p+q=logaM+logaN即分别用M、N以a为底的对数——logaM、logaN表示M与N的积(M·N)以a为底的对数。连乘积的对数:loga(b1b2b3…bn)=loga[b1·(b2b3…bn)]=logab1+loga(b2b3…bn)…=logab1+logab2+logab3+…+logabn(五)

3、商的对数公式设logaM=p,logaN=q,由对数的定义，知M=ap,N=aq又因为M/N=ap/aq=ap-q,所以loga(M/N)=logaa(p-q)=p-q=p+(-1)q4=logaM+(-1)logaN=logaM－logaN即分别用以a为底M、N的对数——logaM、logaN表示M与N的商(M/N)的以a为底的对数。二、和的对数公式设logaM=p，logaN=q,（M>0，N>0），由对数的定义，知M=ap,N=aq又因为M＋N=ap+aq,所以Loga（M+N）=Loga（ap+aq）=Loga（alogaM+alogaN）即分别用以a为底M、N的对数——lo

4、gaM、logaN表示M与N的和(M+N)以a为底的对数。三、差的对数公式设logaM=p,logaN=q,（M>0，N>0），由对数的定义，知M=ap,N=aq又因为M-N=ap–aq,Loga（M-N）=Loga（ap–aq）=Loga（alogaM—alogaN）即分别用以a为M、N底的对数——logaM、logaN表示M与N的差(M—N)的以a为底的对数。四、结论除存在积商幂的对数公式外，也存在和差的对数公式。和差积商的对数公式如下：(1)Loga（M+N）=Loga（alogaM+alogaN）4(2)Loga（M-N）=Loga（alogaM—alogaN）(3)loga

5、(M·N)=logaM+logaN(4)loga(M/N)=logaM－logaN(5)logaax=x4