建筑力学16-静定结构的位移计算

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1、第十一章静定结构的位移计算1，变形体的虚功原理。2，利用变形体的虚功原理，建立虚拟的力状态，根据叠加原理，得出结构在荷载作用下的位移计算的一般公式。3，利用变形体的虚功原理，得出静定结构在支座位移时位移的计算公式。4，线性变形体系的互等定理。13.1概述结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。结构变形后，其上各点的位置会有变动，这种位置的变动称为位移。结构的位移通常有两种：即截面移动和截面转动。13.1.1结构的位移截面移动称线位移，即各截面形心的移动；截面转动称角位移，用杆轴上该点切

2、线方向的变化来表示。图13.1所示刚架，在荷载作用下产生虚线所示变形。图13.2所示结构在荷载P作用下发生如虚线所示变形图13.1图13.2(1)为了验算结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许的位移限值。(2)为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，还必须考虑位移条件。另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。13.1.2计算结构位移的目的13.2变形体的虚功原理功与力和位移两个因素有关，它等于物体上作用力和沿力方向的相应位移的乘积。例

3、如图13.3(a)中，力P的相应位移Δ=AA'cosα，力P所做的功T=P·AA'cosα。又如图13.3(b)所示一转盘受力偶M=P·D作用，设转盘在力偶作用平面内沿力偶转动方向有微小转角dθ，则此力偶所做的功应为dT=PAA′+PBB′=P(AA′+BB′)13.2.1功、实功和虚功图13.3其中：AA′=OAdθBB′=OBdθAA′+BB′=(OA+OB)dθ=Ddθ所以dT=PDdθ=Mdθ(a)式(a)说明，力偶所做的功等于力偶矩M与角位移θ的乘积。可以用一个公式来统一表达力或力偶做功：T=PΔ(13.1)力在自身所引起的位移上做功，称为实功

4、。如图13.4(a)所示简支梁，设其在P1作用下达到平衡时，P1作用点沿P1方向上产生的位移为Δ11。荷载P1在位移Δ11上所做的功用T11表示，则T11=1/2P1Δ11(b)力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。如图18.4(b)，位移Δ12由零增加至最终值的过程中，P1保持不变是常力，因此P1沿Δ12做功为T12=P1Δ12(c)图13.4在荷载作用等因素影响下会产生变形的结构称为变形体。变形体的虚功原理可概括表述为外力虚功W=内力虚功W′(13.2)做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们

5、必须满足平衡条件；位移和变形称为位移状态或第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。式(13.2)又称为虚功方程。13.2.2变形体的虚功原理在虚功方程中，若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理；反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。13.3荷载作用下位移计算的一般公式图13.5(a)所示结构在荷载q作用下发生了如图中虚线所示变形。下面来求结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面

6、的水平位移ΔK。在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它应与ΔK相对应，如图13.5(b)所示。虚拟状态中的外力所做虚功W=PK·ΔK=ΔK(a)首先在图13.5(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为dθ、dη、dλ分别如图13.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为图13.5相对转角dθ=1/ρds=Kds相对剪切变形dη=γds(b)相对轴向变形dλ=εds由材料力学公式，有(c)微段上虚内力在实际变形上所做内力虚功为整根杆件的内力虚功可由积分求得为整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，

7、即(d)(e)(f)由虚功方程式(13.2)，得将式(c)各项代入式(13.3)，有13.313.413.4静定结构在荷载作用下的位移计算利用式(13.4)计算静定结构在荷载作用下的位移时，应根据结构的具体情况，只保留其中的一项或两项。例如梁和刚架以弯曲变形为主，而剪切变形和轴向变形的影响很小，故可略去，式(13.4)简化为而在桁架中，只存在轴力，且同一杆件的轴力N、NP及EA沿杆长l均为常数，故式(18.4)简化成13.513.6例如图13.6(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖向荷载q，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：(

8、1)欲求A点的水平线位移时，应在A点沿水平方向加一单位集中力如图13.6(b)所