热力学与统计物理相关知识

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1、热力学与统计物理相关知识(统计物理部分）主要参考书：热力学与统计物理，汪志诚编，高等教育出版社主要讲述内容:粒子运动状态粒子系统微观运动状态系统中粒子的统计分布规律经典量子经典量子经典量子玻耳兹曼分布玻色分布费米分布玻色系统费米系统玻耳兹曼系统粒子运动状态的描述粒子:广义的指组成宏观物质系统的基本单位例如，气体的分子、金属的离子或自由电子、辐射场的光子、晶体中的声子等。运动状态指力学运动状态原则上说微观粒子是遵从量子力学运动规律的。但在一定的极限条件下，量子力学可以过渡到经典力学。一、粒子运动状态的经典描述广义坐标与广义

2、动量一质点在空间的位置在直角坐标系中用坐标（x,y,z）表示，或用球坐标、柱坐标表示。自由质点的自由度为3，三个坐标是彼此独立的广义坐标是指能够确定质点位置的任意一组量。若质点的自由度为r，采用r个量q1、q2、…qr（广义坐标）就能确定质点的位置。广义速度：广义动量：设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr确定哈密顿函数：以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数ε=H（qi、pi）（i=1、2、…r）运动方程为：当初始时刻t0给定了qi、pi的

3、初值qi0、pi0之后，由运动方程可确定在任何相继时刻t，qi、pi的数值粒子的微观运动状态-------轨道运动粒子运动状态的几何表示法相空间（即μ空间）：用q1、q2、…qr，p1、p2、…pr为直角坐标构成的一个2r维空间代表点：相空间任何一点，代表粒子的一个运动状态相迹：当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，画出一条轨迹。[例]线性谐振子的自由度为1，位置由它的位移x确定，与之共轭的动量为线性谐振子的能量以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，如果给定振子的能量ε，代表点的轨迹由如下方程确定二、

4、粒子运动状态的量子描述什么情况下使用经典描述，或使用量子描述？德布罗意假说：一切微观粒子都具有波粒二象性ε=ħωħ=h/2π普朗克常数h=6.626×10-34J·S它的量纲是[时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量]h被称为基本的作用量子，是判别采用经典描述或量子描述的判据当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与h相比拟的数值时，是量子系统；如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，是经典系统。（作用量纲）量子系统中微观粒子的运动不是轨道运动测不准关系：ΔqΔp≈h微观粒子不可

5、能同时具有确定的动量和坐标微观粒子的运动状态用波函数或量子数来描述（量子态）量子态由一组量子数来表征,其数目等于粒子的自由度数。粒子的运动薛定谔方程：[例]空间中一个自由运动的粒子，限制在一个边长为L的方盒子中，求其量子态。可变为：解为：据周期性边界条件，在点（l/2，y，z）和（-l/2，y，z）ψ（r）的值应相同则：同理：均为整数，动量只能取分立的值能量能量：-------分立的为量子数，量子态由这些量子数来描述。对一确定的能量ε，量子数可能取不同的值，有许多量子态（简并）粒子状态与空间体积元的对应关系但在统计物理

6、学讨论的某些问题中，若普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，则可利用半经典近似：认为粒子是沿着确定的轨道运动，但并不是为经典力学允许的一切轨道，而是满足量子化条件的那些轨道。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。原则上说，微观粒子遵从量子力学的运动规律。由测不准关系，坐标和动量不能同时取确定的值，量子态不能用空间的一点来描述，应用一个体积元描述，称为相格。自由度为1的粒子，相格的大小为h自由度为r的粒子，相格大小为：测不准关系ΔqΔp≈h如果将空间划分为若干个体积元Δωl（l=1，2…），则在体积元Δωl

7、中粒子可能的状态数为Δωl/hr[例]三维自由粒子在体积为V的容器中。粒子的一个状态对应于空间中体积为h3的一个体积元。在体积V内，、、的动量范围内，粒子可能的状态数为：在体积V内，的动量范围内，粒子可能的状态数为：在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，粒子可能的状态数：据ε=p2/2m，可得：D（ε）表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度以上的计算未考虑粒子的自旋-------三、系统微观运动状态的一般描述全同近独立的粒子系统全同粒子：具有完全相同属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子近独立粒子：粒子之间的相

8、互作用很弱，可以忽略粒子之间的相互作用。整个系统的能量可近似表达为单个粒子的能量之和：系统微观运动状态的经典描述一个粒子的运动状态由r个广义坐标和r个广义动量，2r个变量描述N个粒子组成的系统的运动状态由qi1、qi2、…qir；及pi1、pi2、…pir，共2rN个变量描述。经典描述中，全同粒子可以分辨（经典粒子是