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《近世代数课件--§1.1等价关系与集合的分类》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.1等价关系与集合的分类等价关系集合的分类集合的等价关系与分类9/2/20211数学与计算科学学院一、等价关系元素的一个条件．如果对中任意一个有序元素对的一个关系(relation)．如果与满足条件，则称与有关系，记作；否则称与无关系．关系也称为二元关系．，我们总能确定与是否满足条件，就称是定义1.1.1设是一个非空集合,是关于的9/2/20212数学与计算科学学院例1设是一个非空集合，的所有子集组成的集合记为．因为对的任意两个子集，，或有且仅有一个成立，所以集合的包含关系“”是的一个关系．进一步讨论可以发，这个关系还具有下面两条性
2、质：(1)反身性，即对的任一子集，有；(2)传递性,即对的任意子集,,,如果,,则有．9/2/20213数学与计算科学学院例2在整数集中,规定．因为这个关系也具有反身性和传递性．例3在整数集中,规定(即与互素)．因为与有且仅有一个成立,所以是的一个关系．这个关系既不满足反身性也不满足传递性,但却满足所谓的对称性,即对任意两个整数,由，可推出．与有且仅有一个成立,所以“
3、”是的一个关系．9/2/20214数学与计算科学学院定义1.1.2设是非空集合的一个关系,如果满足(E1)反身性,即对任意的,有；(E2)对称性,即若,则；(E3)传递性
4、,即若,且,则．则称是的一个等价关系(equivalencerelation),并且如果,则称等价于,记作．9/2/20215数学与计算科学学院定义1.1.3如果～是集合的一个等价关系,对,令称子集为的一个等价类(equivalenceclass)．的全体等价类的集合称为集合在等价关系下的商集(quotientset),记作．9/2/20216数学与计算科学学院例４易知,三角形的全等,相似,数域上阶方阵的等,相似,相合等都是等价关系,而例1,例2,例3及本节开头所述的关系都不是等价关系．9/2/20217数学与计算科学学院例５设是正整数
5、,在整数集中,规定这个关系为同余关系(congruencerelation),并记作(2)若,则；(3)若,有,则．与等价当且仅当与被除有相同的余数,因此称所以是的一个等价关系,显然(1)对任意整数,则(读作“同余于,模”)．整数的同余关系及其性质是初等数论的基础9/2/20218数学与计算科学学院二、集合的分类定义1.1.4如果非空集合表成若干个两两不相交的非空子集的并,则称这些子集为集合的一种分类(partition),其中每个子集称为一个类(class).如果的子集族构成的一种分类,则记作9/2/20219数学与计算科学学院例6设
6、为数域上全体阶方阵的集合,令表示所有秩为的阶方阵构成的子集.(1);(2)．所以是的一种分类．例7是整数集的一种分类．9/2/202110数学与计算科学学院于,且,同一元素在两个子集中重复出现,例8对实数集,令子集,.由所以不是的一种分类．9/2/202111数学与计算科学学院三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间联系定理1.1.1集合的任何一个等价关系都确定了的一种分类,且其中每一个类都是集合的一个等价类.反之,集合的任何一种分类也都给出了集合的一个等价关系,且相应的等价类就是原分类中的那些类．9/2/202112数学与计算科学
7、学院证首先,为集合的一个等价关系,则(1)对任意的,由反身性知,所以(2)如果,从而由对称性知再由传递性知又对任意的,则,.这说明,不同的类没有公共元素．.于是,因此.则有．同理,所以于是同样由传递性得9/2/202113数学与计算科学学院从而由(P1),(P2)知,全体等价类形成的一种分类,显然每一个类都是的等价类．其次,如果已知集合的一种分类,在中规定关系“～”：对任意的,由于与本身属于同一类,所以.如果,即与属于同一类,自然与也属于同一类,所以.最后,如果,,9/2/202114数学与计算科学学院即与属于同一类,与属于同一类,因而
8、与同在所在的类中,所以．因此“～”是的一个等价关系.显然,由此等价关系得到的等价类就是原分类中那些类．9/2/202115数学与计算科学学院例９设试确定集合上的全部等价关系．解由定理1.1.1知，只要求出的全部分类,也即求出的所有可能的子集分划即可．(1)如果分划为一个子集,则有;(2)如果分划为两个子集,则有(3)如果分划为三个子集,则有9/2/202116数学与计算科学学院因此,上共有五个不同的等价关系,它们是9/2/202117数学与计算科学学院注如果用表示一个具有个元素的集合上的不同等价关系的个数,则有下列的递推公式:其中,为二
9、项式系数,并规定9/2/202118数学与计算科学学院参考文献及阅读材料[1]闵嗣鹤,严士健．初等数论（第２版）．北京:高等教育出版社,1990本书的第1章有关于整数整除性的详细讨论,第3章则介绍了同余的概
