高二数学等比数列前n项和

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1、2．5.2等比数列前n项和的性质1．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()BA．179B．211C．243D．2752．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21,则公比q的值为()CA．1B．－12C．1或－12D．－1或123．在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18，)Aa2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于(A．480B．493C．495D．4984．等比数列4，－2,1，…的前8项和是___________.5．在等

2、比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6＝_____.140＝q.难点等比数列前n项和的性质(1)数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则Sn、S2n－Sn、S3n－S2n，满足(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)．(2)在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，则S偶S奇等比数列前n项和性质的应用例1：已知等比数列前n项和为48，前2n项和为60.求前3n项的和．解法一：设数列为{an}，依题意可得Sn＝48，S2n＝60.又∵在

3、等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(60－48)2＝48·(S3n－60)，即S3n＝63.解法二：∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得与Sn有关的性质主要是Sn、S2n－Sn、S3n－S2n的关系．在与Sn有关的运算中，经常用到两种技巧，①两式相除法；②整体代入法，但都不要忽略对q的讨论．1－1.在等比数列{an}中，a1＝－1，前n项和为Sn，若1－2.(2010年安徽)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2

4、n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是()DA．X＋Z＝2YC．Y2＝XZB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)D．Y(Y－X)＝X(Z－X)前n项和的综合运算例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.解：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1、an是方程x2－66x＋128＝0的两根，解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解．解方程得x1＝2，x2

5、＝64，∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.若a1＝2，an＝64，由a1－anq＝126，1－q得2－64q＝126－126q，∴q＝2，2－1.(2010年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前nA．35B．33C．31D．29C等比数列前n项和的实际应用例3：某人年初向银行贷款10万元用于购房．如果他向某银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(1.0410≈1.4802)思维突破：本题

6、要建立的等量关系式是：贷款＋贷款利息＝还款总额＋还款利息．此题是复利问题，问题的关键是每够一年将前面的本息和作为整体自动转存．105×1.4802×0.04解：设每年需还x元，则105×(1＋4%)10＝x(1＋4%)9＋x(1＋4%)8＋…＋x(1＋4%)＋x，即105×1.0410＝1.0410－11.04－1·x，∴x≈0.4802≈12330(元)．∴每年应还12330元．3－1.某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，对贷款实行了优惠，即年利率为10%，按复利计算(

7、即将本年的酬金与利润的总和计为次年的本金)．若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？即20000×1.110＝x(1－1.110)1－1.1，解得x≈3255.故每年应还3255元．解：设每年还款x元，则20000×(1＋10%)10＝x(1＋10%)9＋x(1＋10%)8＋…＋x(1＋10%)＋x，中bn不能为0.例4：已知数列{an}是等比数列，试判断该数列从第一项起依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列．错因剖析：易忽略两个

8、问题：①前n项和公式成立的条件；②bn＋1bn正解：设bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank，…，且数列{an}的公比为q.则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝ka，∴{bn}是公比为1的等比数列．∴{bn}是公比为qk的等比数列．当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列；若k为奇数，则{bn}是公比为－1的等比数列．4－1.(2010年辽宁)设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()B