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1、第22讲运算求解能力与数据处理能力江苏省高考数学科考试说明指出：“运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算与变形，能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能够根据要求对数据估计或近似计算.”运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序、调整运算方式等一系列过程中的思维能力，是思维能力与运算技能的结合.运算求解贯穿于数学学习的始终，从对历年各地高考试卷分析中可看出，刻意考查运算求解能力的试题与无心考查只为辅助的试题均存在，不涉及运算求解的试卷是不存在的.日常教学还发现运算求解过
2、程中误算、混用公式、不知优化过程耗费大量时间等现象普通存在，造成不必要的失分，“会而不对”“对而不全”之类的“低级错误”屡见不鲜.提醒备考者要严谨、细致以防止差错.考试说明指出“数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.”数据处理能力，不仅指运算，更指收集数据和对数据的整体把握等方面的能力，它需要对收集到的数据进行比较、分析，进而寻找到数据之间的规律.数据处理能力是实施新课程标准后新增加的一种数学基本能力，备考中要注意加强训练.【例1】(2009·扬州大学附中)在△ABC中
3、，角A，B，C所对边分别为a，b，c且（1）求角A；（2）若m=(0,-1),试求
4、m+n
5、的最小值.解探究拓展有关三角函数的运算求解是高考及各级各类考试的焦点，其基础是有关三角函数的定义、图象与性质以及三角变换公式，解题关键是寻找条件与结论之间的差异与联系，目标是消除差异，常用方法技巧有“变名、变角、降次”.变式训练1(2009·山东)设函数(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；（2）设A,B,C为△ABC的三个内角，若且C为锐角，求sinA.解【例2】（2009·徐州调研）已知直线l:y=kx+2（k为常数）过椭圆
6、（a>b>0）的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为d.（1）若d=2，求k的值；（2）若，求椭圆离心率e的取值范围.解（1）取弦的中点为M，连结OM,由平面几何知识，OM=1，得k2=3,k=±.∵直线过F、B，∴k>0,则k=.（2）设弦的中点为M，连结OM，探究拓展解析几何类问题实质是用代数方法解决几何问题，其中的“代数方法”主要是指“运算求解”，通过数量关系的认定，达到对空间元素之间位置关系与性质关系的判断.本题以椭圆、圆、直线为素材设计，要求对相关知识能熟练掌握，并借助平面几何知识建立相关量之
7、间联系,通过解方程与不等式使问题得以简便解决.提醒：应在备考中重视平面几何知识的作用.变式训练2（2009·江西）已知P1(x0,y0)为双曲线(b为正常数)上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连结F2A并延长交y轴于点P2.(1)求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程;(2)设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1,y1）（y1≠0）,直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.（1）解由已知得F2(3b,0),,则直线F2A的方程为令x=0,得y=9y0,
8、即P2（0，9y0）.(2)证明【例3】（2009·通州第四次调研）数列{an}、{bn}（n=1,2,3，…）由下列条件确定：①a1<0,b1>0;②当k≥2,k∈N*，ak与bk满足如下条件：（1）如果a1=-5,b1=9,试求a2,b2,a3,b3;（2）证明：数列{bn-an}为等比数列；（3）设n(n≥2)是满足b1>b2>b3>…>bn的最大整数，证明：（1）解(2)证明当k≥2,k∈N*时，（3）证明由（2）可得∵b1>b2>b3>…>bn(n≥2),探究拓展“创设问题情境，考查学生理解问题、分析问题与解决问
9、题的能力”是命制高考试题的主导思想之一.本例以数列知识为素材，设计了较为复杂的问题情境，考查学生运算求解能力与逻辑推理能力.等差数列、等比数列的定义、性质与通项公式的应用是基础与关键，具体问题中要耐心细致梳理题设提供的信息与条件，深刻领悟与把握各量之间的内在联系，经过运算求解对结论作出判断和认定.变式训练3(2009·江苏)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn是其前n项和,满足(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得为数列Sn中的项.解（1）由题意，设等差数列{an}的通项公式为an=
10、a1+(n-1)d,d≠0.由知2a1+5d=0.①又因为S7=7，所以a1+3d=1.②由①②可得a1=-5,d=2.所以数列{an}的通项公式an=2n-7,(2)因为为数列Sn中的项，故为整数.又由(1)知am+2为奇数，所以am+2=2m-3=±1，即m=1,2.经检验，符合题意的正整数只有m=
