高三数学正弦定量和余弦定理

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1、正弦定理和余弦定理要点梳理1.正弦定理:,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:（1）a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;（2）a=,b=,c=;（3）等形式,以解决不同的三角形问题.2RsinC2RsinA2RsinB基础知识自主学习2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为:cosA,cosB=,cosC=.3.·r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC4.在解三角形时，正弦定理可解决

2、两类问题：（1）已知两角及任一边，求其它边或角；（2）已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况（2）中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；（2）已知三边问题.5.解三角形的类型在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120°,则a等于（）A.B.2C.D.解析D2.△ABC的

3、内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB等于()A.B.C.D.解析由已知得b2=ac,c=2a,B3.在△ABC中，A=60°,a=4,b=4,则B等于（）A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对解析由正弦定理得又∵a>b,A=60°,∴B=45°.C4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A.B.C.D.解析C5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若∠B=45°，b=，

4、a=1，则∠C=.解析∵ab,∴A=60

5、°或A=120°.当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°,当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°.(2)∵B=60°,C=75°,∴A=45°.（3）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又∵a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得（1）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.（2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.知能迁移1在△ABC中，若

6、b=,c=1,B=45°,求a及C的值.解由正弦定理得因为c

7、A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,题型三三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一已知等

8、式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2π得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二