高三数学归纳类比与数学证明

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1、第四节　归纳类比与数学证明考纲点击1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.热点提示1.以选择题、填空题的形式考查合情推理.2.以选择题或解答题的形式考查演绎推理.3.题目难度不大，多以中低档题为主.1．n条直线两两相交共有f(n)个交点，则n＋1条直线最多比f(n)多多少个交点．()A．n－1个B．n个C．n＋1个D．n＋2个【

2、解析】∵第n＋1条直线分别与前n条直线相交时最多有n个交点.故选B.【答案】B2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④【解析】①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推

3、理，所以①②④为合情推理．【答案】C3．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．【答案】A4．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除小前

4、提：________.结论：所以2100＋1不能被2整除．【解析】三段论是由一般到特殊，一切奇数都不能被2整除是大前提，则小前提必是2100＋1是奇数．【答案】2100＋1是奇数5．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a8＝________.【解析】由a1，a2，a3，a4的形式可归纳，∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝＝28，∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.∴a8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝＝512.

5、【答案】512归纳推理设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【思路点拨】【方法点评】1.归纳推理的特点：(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．2．归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同本质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．【特别提醒】归纳推理所得结论未必正确，

6、有待进一步证明．类比推理请用类比推理完成下表：平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半【思路点拨】由表格一、二两个问题的类比可知，线对面，长度对面积，从而内切圆应相对内切球，从而可解．【自主探究】本题由已知前两组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的

7、各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上分析可知：故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．(本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处略．)【方法点评】1.类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出

8、一个明确的命题(猜想)．2．类比是科学研究最普遍的方法之一.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛．数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．2．在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，类比平面中的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出正确结论；“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直”