高三数学平面向量的概念

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1、第八节平面向量的概念及其线性运算考纲点击1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.热点提示1.重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示.2.多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题.1．向量的有关概念及表示方法(1)向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或模)零

2、向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量大小方向长度1个单位平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0相同相反平行平行相等相同相等相反(2)向量的表示方法①字母表示法，如：a，等．②几何表示法：用一条表示向量．2．向量的线性运算有向线段向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).三角形平行四边形法则减法求a与b的相反向量

3、－b的和的运算叫做a与b的差法则数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)λa＝λa.(2)当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.相同相反三角形3.向量a(a≠0)与向量b共线向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ，使b＝λa.1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()【解析】，故C错误．【答案】C2．给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同

4、或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】①中，∵向量与为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相

5、同或相反的向量，∴若A与C是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．【答案】B3.【答案】A【答案】A、B、D给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②若A＝D，则ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【思路点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键．注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可．【自主探究】选B.①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段．②错，因为A＝D，则可能A、B、

6、D、C四点在一条直线上．③正确．④错，若b＝0，则对不共线的向量a与c，也有a∥0，0∥c，但a与c不平行．【答案】B【方法点评】1.着重理解向量以下几个方面：(1)向量的模；(2)向量的方向；(3)向量的几何表示；(4)向量的起点和终点．2．判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向．1．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．(1)若向量a与b同向，且a＞b，则a＞b.(2)若向量a＝b，则a与b的长度相等且方向相同或相反．(3)对于任意向量a＝b，

7、且a与b的方向相同，则a＝b.(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行．(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．(6)向量A与向量C是共线向量，则A、B、C、D四点在一条直线上．(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．【解析】(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由a＝b只能判断两向量长度相等，不能判断方向．(3)正确．∵a＝b，且a与b同向，由两向量相等的条件可得a＝b.(4)不正确．由零向量性质可知

8、0与任一向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．(6)不正确．若向量A与向量C是共线向量，则向量A与C所在的直线平行或重合，因此，A、B、C、D不一定共线．(7)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．【思路点拨】解本题除要进行向量的加、减法外，还