高三数学复数的概念

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1、第四章数系的扩充___复数4.1复数的概念教学目的：1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)4.理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立授课类型：新授

2、课一.复数的概念数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。那么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满的解决呢？回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定

3、：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且－1的平方根为i.形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.二.复数集复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。全体复数所成的集合叫做复数集.这样实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：三.复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d

4、∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数

5、相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，解得x=,y=4.xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实数可以用数轴上的点来表示。一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴

6、y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa

7、a

8、=

9、OA

10、实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy

11、z

12、=

13、OZ

14、复数的绝对值复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)的几何意义:Z(a,b)例3求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(3)满足

15、z

16、=5(z∈C)的z值有几个？思考：(2)满足

17、z

18、=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<

19、0)(1)复数的模能否比较大小？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？图示课堂小结：一.数学知识：二.数学思想：(1)复数相等(2)复平面(3)复数的模(3)类比思想(2)数形结合思想(1)转化思想课题：复数的有关概念(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析：1．