数学实验04-多元统计基本概念

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1、多元统计分析简介多元统计分析：通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及解释这些变量内在的变化规律。一元统计分析——一个随机变量的统计规律多元统计分析——多个随机变量之间的相互依赖关系及内在统计规律性多元统计分析应用：经济学、工业、农业、医学、教育学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境学、气象、文学等许多领域多元统计分析主要内容：1、多元正态总体的参数估计和假设检验2、常用的处理多元数据的统计方法：1）聚类分析2）判别分析3）主成分分析4）因子分析5）多重多元回归分析等等第一章　多元统计中的基本概

2、念第一节　基本概念第二节多元正态分布第三节多元统计中的常用分布第一节　基本概念1.随机向量Def1:将p个随机变量的整体称为p维随机向量，记作。分布函数∶离散型：分布律连续型：密度函数分布密度函数∶满足分布密度函数应满足的两个条件？Def2:设是p维随机向量，称由它的q（q

3、向量具有如下性质：（2）协方差矩阵设称为X的协差阵。若X的协差阵存在，且每个分量的方差大于0，则称随机变量X的相关阵为，其中为相关系数。设标准离差阵为则有称X和Y的协差阵为：协差阵具有如下性质：（试证之）多元分析的任务∶分析各变量之间的关系，推断总体的性质为一维随机变量为多维随机变量(随机向量)3.多元总体多元分析研究具有多个(如p个)属性(指标)的对象组成的总体--多元总体。从总体中任意抽出一个对象(总体单元)，其p个属性的值为∶多元总体∶多维随机变量(随机向量)可能取值的全体。观测矩阵（随机）（样本资料阵）4.多元

4、样本的相关概念从多元总体中随机抽取n个个体。i.i.d.简单随机样本多元分析的研究对象（1）样本平均值样本平均值是n个样本点的重心（2）样本离差阵样本均值和样本离差阵的矩阵表示：（3）样本协差阵（4）样本相关阵----样本相关系数非负定矩阵第二节　多元正态分布1.多元正态分布若随机向量的分布密度函数为则称服从p维正态分布。记作：其数学期望与协方差矩阵分别为：其中为对称正定矩阵，特例1(一元正态分布)则特例2(二元正态分布)设则2.多元正态分布的常用性质分布？第三节多元统计中的常用分布在一元统计中，卡方分布、t分布和F分

5、布在参数估计和假设检验中起着非常重要的作用。在多元统计中，他们分别发展为Wishart分布、Hotelling-T2分布和Wilks分布，在多元参数估计和假设检验中占有非常重要的地位。1、Wishart分布（1）Wishart分布由Wishart在1928年推导出来。（2）Wishart分布的性质2、Hotelling-T2分布（2）Hotelling-T2分布的性质3、Wilks分布多元正态总体下的假设检验问题。附录指标：定量；定性类型：间隔尺度：用连续的量来表示，如长度，重量等；若存在绝对零点，又称比例尺度；有序尺

6、度：没有明确的数量表示，只是划分一些等级，等级间有次序关系，如产品分上中下三等，有次序关系，但无数量表示。名义尺度：既无数量表示，又无次序关系，如某物体有红黄白三种颜色，回答问卷中是与否等等。一、三种数据类型二、距离1.距离的概念(描述样本间差异程度的量)2.距离的定义定义∶如果第i号样本和第j号样本的函数满足∶i)当且仅当时；ii)对一切iii)则称是一种广义距离。如果进一步还满足∶iv)则称是一种距离。3.欧几里德距离(欧氏距离)欧氏距离的性质∶Ⅰ)平移不变性将每个坐标加上一个常数后，任何二点之间的距离保持不变。Ⅱ

7、)对正交变换的不变性Ⅲ)如果将每个点的坐标都增加C倍，点间距离也增加C倍。缺点∶①与测量单位有关，②不同属性之间的差别等同看待。4.马氏距离(Mahalanobis)设X是原始数据矩阵，S是其协方差矩阵，则马氏距离定义为∶马氏距离的性质∶Ⅰ)平移不变性Ⅱ)对任意可逆线性变换的不变性设为可逆矩阵，若对任何一个点做变换而得到一个新的点，这个变换叫可逆线性变换。由标准化数据和中心化数据计算出的两点间的马氏距离相同，且与测量单位无关。进一步，作可逆变换后仍旧不变。缺点∶夸大了变化微小的变量的作用。5.B模距离设X是原始数据矩阵

8、，B是一个正定矩阵，则B模距离定义为∶说明∶①时为欧氏距离，时为马氏距离。②当各变量对区分样本有不同作用时，可以给各变量以不同权重。这时可取B为③B矩阵元素的作用--权重。(根据专业知识或用统计方法来确定。)特别，当q=1时，即为绝对距离：当q=无穷大时，即为切比雪夫距离：7.注释①可根据实际问题的要求，自己定义所需要的距离。②样