07多元统计基本概念

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1、多元统计分析多元统计分析：通过对多个随机变量观测数据的分析，来研究变量之间的相互关系以及解释这些变量内在的变化规律。一元统计分析——一个随机变量的统计规律;多元统计分析——多个随机变量之间的相互依赖关系及内在统计规律性.多元统计分析应用：经济学、工业、农业、医学、教育学、生态学、地质学、社会学、考古学、环境学、气象、文学等许多领域多元统计分析主要内容：1、多元正态总体的参数估计和假设检验2、常用的处理多元数据的统计方法：1）聚类分析2）判别分析3）主成分分析4）因子分析5）多重多元回归分析等等第一章多元统计中的基本概念第一节基本概念第二节多元正态分布第三节多元统计中的

2、常用分布第一节基本概念1.随机向量Def1:将p个随机变量X1,X2,L,Xp的整体称为p维随机向量，记作X=(X1,X2,L,Xp)¢。分布函数∶F(x)=P(X£x)F(x,x,L,x)=P(X£x,X£x,L,X£x)12p1122pp离散型：分布律连续型：密度函数分布密度函数∶f(x)=f(x,x,L,x)12px满足F(x)=òf(y)dyxpx1-¥F(x,x,L,x)=Lf(y,y,L,y)dydyLdy12pòò12p12p-¥-¥p¶F(x,x,L,x)12pf(x,x,L,x)=12p¶x¶xL¶x12p分布密度函数应满足的两个条件？Def2:设X

3、=(X1,X2,L,Xp)¢是p维随机向量，称由它的q（q

4、xdxLdxiòòi12p12p-¥-¥(i=1,2,L,p)均值向量具有如下性质：(1)E(AX)=AE(X);(2)E(AXB)=AE(X)B;(3)E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)（2）协方差矩阵设X=(X1,X2,L,Xp)¢,Y=(Y1,Y2,L,Yq)¢称D()()¢DX=EX-EXX-EX=Sæs11s12Ls1pöç÷çssLs÷D21222p()=ç÷=sijp´pçMMM÷çssLs÷èp1p2ppø为X的协差阵。其中s=Cov(X,X)ijij若X的协差阵存在，且每个分量的方差大于0，则称随机变量X的相关阵为R=(r)，其中ijp´pCo

5、v(X,X)sijijr==;i,j=1,2,L,pij()()VarXVarXssijiijj为相关系数。设标准离差阵为æs0ö1ç11÷V2=çO÷ç÷ç0s÷èppø则有-1-11111æöæöS=V2RV2,即R=çV2÷SçV2÷ç÷ç÷èøèø称X和Y的协差阵为：D()()¢Cov(X,Y)=EX-EXY-EYæCov(X1,Y1)Cov(X1,Y2)LCov(X1,Yq)öç÷çCov(X,Y)Cov(X,Y)LCov(X,Y)÷21222q=ç÷çMMM÷çCov(X,Y)Cov(X,Y)LCov(X,Y)÷èp1p2pqø若Cov(X,Y)=0,则称

6、X和Y不相关，由X和Y相互独立可以推出Cov(X,Y)=0，即X和Y不相关；但反过来一般不成立。协差阵具有如下性质：（试证之）(1)D(X)³0;即X的协差阵非负定(2)对常数向量a，有D(X+a)=D(X)(3)D(AX)=AD(X)A¢(4)Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B¢3.多元总体的概念多元分析研究具有多个(如p个)属性(指标)的对象组成的总体--多元总体。从总体中任意抽出一个对象(总体单元)，其p个属性的值为∶æX1öX为一维随机变量ç÷içX2÷(i=1,2,L,p)X=ç÷Mç÷çX÷X为多维随机变量èpø(随机向量)多元总体∶多维随机变量(

7、随机向量)可能取值的全体。多元分析的任务∶分析各变量之间的关系，推断总体的性质4.多元样本的相关概念从多元总体中随机抽取n个个体。X()1,X()2,L,X()ni.i.d.简单随机样本æXa1öç÷(a=1,2,L,n)çXa2÷X=()aç÷MXXLXç÷12pçX÷èapøæXXLXöæX¢ö11121p()1观测矩阵（随机）ç÷ç÷（样本资料阵）çX21X22LX2p÷çX()¢2÷X=ç÷=ç÷多元分析的çMMM÷çM÷研究对象çXXLX÷çX¢÷èn1n2npøè()nø（1）样本平均值æX11X12LX1pöæX()¢1öç÷ç÷çX2