《3.1.3空间向量的数量积运算》课件6

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1、3.1.3空间向量的数量积运算问题引航1.空间向量的夹角是如何定义的？空间向量的数量积及性质有哪些？2.如何利用空间向量的数量积及性质解决空间几何中的线线、线面的位置关系问题？1.空间向量的夹角非零∠AOB[0，π]互相垂直a⊥b2.空间向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a，b，则_______________叫做a与b的数量积，记作a·b.即a·b=_______________.

2、a

3、

4、b

5、cos

6、a

7、

8、b

9、cos(2)数量积的运算律:数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ_____=a·(____)交换律a·b=_____分配律a·(b+c)=__

10、________a·bλbb·aa·b+a·c(3)空间两向量的数量积的性质向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b=0.共线同向:则a·b=

11、a

12、·

13、b

14、反向:则a·b=-

15、a

16、·

17、b

18、模a·a=_______________=

19、a

20、2

21、a

22、=

23、a·b

24、≤

25、a

26、·

27、b

28、夹角θ为a，b的夹角，则cosθ=_______

29、a

30、

31、a

32、cos1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b=0，则a=0或b=0.()(2)与(a，b)都表示直角坐标系下的点.()(3)若a，b均为非零向量，则a·b=

33、a

34、

35、b

36、是a与b共线的充要条件.()(4)在△AB

37、C中，<>=∠B.()【解析】(1)错误.当两非零向量a，b的夹角为90°时，其数量积为0.(2)错误.表示的是空间向量a，b之间的夹角，(a，b)表示直角坐标系下的点.(3)错误.因a，b均为非零向量，故a·b=

38、a

39、

40、b

41、cos=

42、a

43、

44、b

45、，所以cos=1，故向量a，b共线，反之当a，b共线时，a·b=

46、a

47、

48、b

49、cos=±

50、a

51、

52、b

53、，故错误.(4)错误.在△ABC中，向量的夹角为∠B，而向量的夹角与向量的夹角互补，故此等式不正确.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若向量a与b满足

54、a

55、=1，

56、b

57、

58、=2且a与b的夹角为，则a·b=.(2)已知

59、a

60、=，

61、b

62、=，a·b=-，则a与b的夹角为.(3)已知a，b是空间两个向量，若

63、a

64、=2，

65、b

66、=2，

67、a-b

68、=，则cos=.【解析】(1)a·b=

69、a

70、

71、b

72、cos〈a，b〉=1×2×=1.答案：1(2)由a·b=

73、a

74、

75、b

76、cos〈a，b〉=×cos〈a，b〉得cos〈a，b〉=故a与b的夹角为135°.答案：135°(3)将

77、a－b

78、＝化为(a－b)2=7，求得a·b＝再由a·b＝

79、a

80、

81、b

82、cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝答案：【要点探究】知识点1空间向量的夹角1.空间向量夹角的两个关注点(1)作图:共起点，作空间

83、两个向量夹角时把两个向量起点放在一起.(2)非负性:两向量夹角为从同一个顶点出发的两个向量所构成的较小的非负角.2.空间向量的夹角与向量位置关系(1)=0时，向量a，b方向相同.(2)=π时，向量a，b方向相反.(3)=时，向量a⊥b.【微思考】(1)与相等吗？若两个非零向量垂直，两向量对应夹角是多少？提示:与分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义，与相等，若两个非零向量垂直，两向量对应的夹角是.(2)说出式子表示的含义，并指出它们之间有什么关系？提示：表示向量的夹角；表示向量的夹角.

84、相互关系为【即时练】空间四面体O-ABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=则的值是()【解析】选D.知识点2空间向量的数量积1.对空间向量的数量积的三点说明(1)运算结果:空间向量数量积的结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积.(2)运算符“·”:其中a·b中的圆点是数量积运算的符号，不能省略也不能用“×”代替.(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定.②数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c).③当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0.④空间向量没有除法运算:即若a·b=k，则没有a=.2.对空间向量数量积性质的三点说明(1)向量模的应

85、用:

86、a

87、=:该式子可以解决有关空间长度问题.(2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面直线)的夹角，可以通过求出这两个向量的夹角而求得.(3)数量积的应用:两非零向量a，b，若a·b=0则两向量对应的直线相互垂直.【知识拓展】空间向量数量积的几何意义类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量在轴l上投影(空间中称为射影)的过程.已知图中向量=a，l为轴，向量e是l上与l轴同方向的单位向量，作点