《1.3.1函数的单调性与导数》课件2

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1、1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数问题引航1.函数的单调性与导数的正负有什么关系？2.利用导数判断函数单调性的步骤是什么？3.怎样求函数的单调区间？1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y=f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递___增减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y=f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大___比较“_____”(向上或向下)越小___

2、比较“_____”(向上或向下)快陡峭慢平缓1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.()【解析】1.(1)错误.如函数f(x)=-在定义域上都有f′(x)=>0，但函数f(x)在定义域上不是单调递增的.(2)错误.函数在某一点的导数的绝对值越大，函数在该点处的切线斜率的绝对值越大，

3、切线越“陡峭”.(3)正确.函数变化越快，对应的导数的绝对值越大.答案：(1)×(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=x3+x在(-∞，+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为____________.(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是____________.【解析】(1)由于y′=3x2+1>0对于任何实数恒成立，所以函数y=x3+x在(-

4、∞，+∞)上是增函数，则图象是上升的.答案：上升(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立，则得a>0，且b2≤3ac.答案：a>0，且b2≤3ac(3)令y′=3x2+2x-5>0，得x<或x>1.答案：(-∞，)，(1，+∞)【要点探究】知识点函数的单调性与导数1.对函数的单调性与其导数正负的关系的三点说明(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都

5、有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.(3)特别地，在某个区间内如果f′(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接

6、，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.【微思考】(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f′(x)>0是否一定成立？提示：不一定成立.例如，y=x3在R上是增函数，但其在0处的导数为零，故f′(x)>0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临界点吗？提示：因为函数y=x2的导数是y′=2x，在y′=0的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数y=x3的导数是y′=3x2，在y′=0的点左边和右边导数符号相同，

7、不是函数单调递增与单调递减的临界点.【即时练】设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)<0是f(x)在(a，b)内单调递减的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由f′(x)<0能够推出f(x)在(a，b)内单调递减，但由f(x)在(a，b)内单调递减不能推出f′(x)<0，如f(x)=-x3在R内为减函数，而f′(x)=-3x2≤0.故为充分不必要条件.【题型示范】类型一利用导数判断函数的单调性【典例1】(1)(2014·武昌高二检测)函数y

8、=f(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数y=f(x)的定义域是[-1，5]；②函数y=f(x)的值域是(-∞，0]∪[2，4]；③函数y=f(x)在定义域内是增函数；④函数y=f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.②④(2)证明：f(x)=ex+在(0，+∞)上是增函数.【解题探究】1.题(1)中根据图象如何确定函数的定义域和值域？函数的单调性如何？2.题(2)中利用导数证明函数在某区间上是增函数的关键是什么？【探究提示】1.根据