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1、几何非线性基础第五章-附录几何非线性基础F.附录大应变理论该附录中所包含的知识对于成功地使用ANSYS中的几何非线性不是必需的,因此,通常不在课程中讲解.它作为附加的背景知识提供给那些希望更深入地理解ANSYS大位移特征的用户.几何非线性基础…附录将非线性应变定义推广到一般的三维情况在二维和三维中,当一个元件经历大应变变形时,不仅长度元素改变,厚度、面积和体积也改变.AA0P几何非线性基础…附录运动和变形物体在外载荷的作用下会移动和变形.如果考察该物体上某一点的运动,它的初始位置为{X},最终位置为{x},则位移量为{u},图中X
2、Y几何非线性基础…附录变形梯度变形梯度是物体变形程度的度量,定义为变形梯度[F]包含如下信息:体积改变转动由于应变而引起的形状改变几何非线性基础…附录…变形梯度注意由定义,变形梯度[F]消除了平动;是应变定义的必要条件.当定义应变时,还应排除转动部分(因为它对应变没有贡献),并提取形状改变部分.这可以通过应用极分解定理实现.几何非线性基础…附录极分解变形梯度[F]可以用极分解定理分解为转动部分和变形部分:[F]=[R][U][R][U]=转动矩阵,包含物质点象刚体一样转动的量和方向的信息.=伸长矩阵,包含在物质点处物体的应变信息.
3、几何非线性基础…附录应变定义中[U]的构造知道了伸长矩阵[U],对一维对数应变el和一维Green-Lagrange应变eG进行推广,可以构造出三维一般应变.几何非线性基础…附录Hencky应变对数(Hencky)应变按下式计算:式中[eH]是按矩阵形式表示的应变张量.在此情况下,[eH]是一维对数或真实应变el的三维等效.几何非线性基础…附录Green-Lagrange应变在三维中,可以按下式所示直接由伸长矩阵[U]计算Green-Lagrange应变:该度量从应变场估算中直接忽略转动矩阵[R].[eG]可以用位移场的梯度项重写
4、为下式:前两项是线性小应变项,最后一项是对应变度量的非线性贡献.几何非线性基础…附录将非线性应力定义推广到一般三维情况与一维中的情况一样,在二维和三维中有共轭应力度量,它可以对每一种非线性应变定义.几何非线性基础…附录Cauchy应力Cauchy或真实应力张量[t](此处写为矩阵形式)给出变形构件中单位变形面积的当前力.如果令那么,在三维中,Cauchy应力张量[t]把{dP}与{dA}联系起来Cauchy应力是容易解释的物理量.=定义变形体中单元面积分量的矢量=作用的相应单元力几何非线性基础…附录第二Piola-Kirchhof
5、f应力令代表由变换形式推导出的力分量还令第二Piola-Kirchhoff应力张量[S]把和联系起来[S]是对称应力张量,常常用于有限应变弹性公式中,是Green-Lagrange应变[eG]的共轭应力张量.[S]是个非物理的应力张量(一个伪应力张量).不能直接对[S]进行物理解释.=定义未变形体中单元面积的矢量,这里几何非线性基础…附录[]和[S]的关系物理的Cauchy[t]应力可以通过下式直接与非物理的第二Piola-Kirchhoff伪应力[S]联系起来:t几何非线性基础…附录完全一致非线性切向刚度矩阵众所周知,在大多数
6、非线性结构问题中,应用一致非线性切向刚度矩阵可以迅速提高基于Newton-Raphson求解过程的收敛速度.一致或完全切向刚度矩阵通常在迭代求解过程中产生二次方的收敛速度.几何非线性基础…附录何谓一致非线性刚度矩阵?一致非线性刚度矩阵通过对离散化的有限元方程求导得到,它是单元内力矢量和单元施加的载荷矢量的函数.几何非线性基础…附录离散化的非线性静态有限元方程求解的离散化的非线性静态有限元方程可以在单元层次上描述为:式中=单元总数=单元坐标系中的单元内力矢量=转换矩阵将变换到全局坐标系=全局坐标系中,在单元层次上施加的载荷矢量几何非
7、线性基础…附录单元内力矢量单元内力矢量由下式给出式中=单元应变-节点位移矩阵=单元应力矢量=单元体积按照上面给出的内力定义,离散化的非线性有限元方程(力平衡)可以重写为:几何非线性基础…附录推导增量非线性刚度矩阵一致非线性刚度矩阵通过对离散化的有限元方程求导获得,如下所示:式中几何非线性基础…附录一致非线性刚度矩阵=主切向矩阵=初始应力矩阵,包括应力刚化效应=初始位移-转动矩阵,包括刚度关系中几何形状变化效应.=初始载荷矩阵,包括刚度关系中载荷方向变化效应(跟随力).
