虚功原理与静定结位移计算

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1、结构力学第6章虚功原理与静定结构位移计算主要内容1基本概念2虚功方程3结构位移计算的一般公式4静定结构在荷载作用下的位移计算5图乘法6由于支座位移与温度变化引起的位移计算7线性变形体系的互等定理§6.1引言1杆系结构的位移种类位移的概念在材料力学中已讲过。水平位移垂直位移线位移角位移绝对位移相对位移相对线位移相对角位移广义位移图(a)uv图(b)HV图(c)t2(t2>t1)t1图(d)VH图(e)ABAB称为相对线位移称为相对角位移线位移、角位移、相对线位移及相对角位移统称为广义位移。vu2结构位移计算的目的(1)结构的刚度计算或校核：，（材力

2、中已讲过）；(2)为结构的制造、架设、养护等采取的施工措施提供依据；如建筑工程中有一种称为建筑起拱的工艺，可以保证施工完毕后，屋架的下弦各杆接近于原设计的水平位置。而max量及各杆的实际下料长度是多少，就必须解决结构的变形及位移计算；施工前：(3)为超静定结构分析奠定基础。超静定结构分析时需添加方程，在力法中其补充方程是位移协调方程，因此必须了解位移的分析方法。施工完毕后：3线性变形体系与非线性变形体系线性变形体系又称线弹性体系，是指位移与荷载呈线性关系的体系，且当荷载全部撤除后，位移将完全消失。它满足以下条件(1)应力与应变关系满足虎克定律；(2)体系是几何不变的，

3、且所有约束都是理想约束；(3)小变形（位移是微小的）。非线性变形体系非线性变形体系物理非线性(材料是非弹性的)几何非线性(大变形问题)边界非线性(接触问题)多重非线性是指位移与荷载不呈线性关系的体系。4变形直杆的平衡条件和变形协调条件在以前各章中，仅涉及静定结构的内力计算，采用平衡方程求解，研究问题时，把结构视为“刚体”。在研究结构的变形及后面的超静定结构分析中，结构均视为变形体。研究问题一般需同时考虑平衡方程，物理方程及变形协调方程三个方面。对于线弹性杆系结构的物理方程非常简单，即虎克定律（6-1）下面重点讨论变形直杆的平衡方程和变形协调方程。(1)平衡方程(平衡微分

4、方程)如图(a)所示受一般荷载作用的直杆，处于平衡状态。图中q(x)为分布的横向荷载，p(x)为分布的轴向荷载，m(x)为分布的力偶系。取任一微段dx如图(b)所示。由平衡方程：得（略去高阶微量）（6-2）上式即为平衡微分方程，它反映了直杆内力与外力之间的关系，求解（6-2）式微分方程组的边界条件为（6-3）xyABq(x)m(x)p(x)图(a)lFN(x)+dFN(x)q(x)FN(x)FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)dx图(b)(2)变形协调方程利用(d)、(e)、(f)图易得（6-4）对于杆系结构而言，剪切变形相对较小，若忽略剪切变

5、形，上式与材料力学中的结果相同。（6-4）式称为变形协调方程，或称几何方程。对于几何相容的变形，还需满足位移边界条件：（6-5）xyl图(c)ABu+duudx图(d)图(e)v+dxv图(f)dx+d§6.2虚功方程的两种应用功的概念大家都比较熟悉，它包含了两个要素：力和位移，功定义为力的大小与其作用点（力所作用的物体）沿着力的方向相应位移的乘积，两者之间紧密相关。若做功的力与相应力的位移彼此独立无关时，这类的功通常称为虚功。Fp21Fp11图(a)力状态（状态Ⅰ）1222图(b)位移状态（状态Ⅱ）例如，如图所示两种状态，彼此无关（位移状态中的位移并非

6、由于第一种状态上的力所引起的），则第一种状态上的力在第二种状态的相应位移上所作的功，即为虚功，记为一般情况可记为（6-6）1虚功的概念上式中，Fpi1(i=1,2……n)为广义力，I2(i=1,2……n)为与广义力Fpi1相应的广义位移。应该指出，在虚功方程中，力状态与位移状态是彼此独立的，因此，不仅可把位移状态视为虚设的，也可把力状态视为虚设的。它们各有不同的应用。2虚功方程的两种应用为了便于理解，我们首先讨论虚功方程在刚体上的应用。对于刚体体系，虚功方程叙述为：在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中的力系能够满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能与约束几何相容，则

7、力系中的全部外力在位移状态中相应的刚体位移上所做的虚功总和为必为零。即（6-7）(1)虚设位移状态——求未知力（虚功的应用之一——虚位移原理）如图(a)所示简支梁，现欲求B支座反力X。步骤如下FpBAal图(a)①首先解除B支座的约束，以相应的未知力X代替，于是原结构变成了具有一个自由度的体系，它在荷载与未知力X的共同作用下处于平衡状态。②使该体系产生与约束几何相容的虚位移，如图(c)所示。FpX图(b)Xp图(c)③在图(b)所示的力状态与图(c)所示的位移状态之间建立虚功方程：(a)这就是虚功方程的应用之一——虚位移原理，其特点