奥数之奇数与偶数

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1、奇数与偶数研究目标1、正确理解整数的奇偶性，掌握奇数和偶数在运算中具有的一些性质。2、能恰当、灵活地运用奇数与偶数的不同特征解一些问题。奇数与偶数性质（1）偶数±偶数=偶数（2）奇数±奇数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数承上页（5）两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同。（6）两个整数的和或差是偶数，这两个数的奇偶性相同。（7）两个整数的和或差是奇数，这两个数的奇偶性相反。（8）偶数个奇数相加得偶数，奇数个奇数相加得奇数，任意个偶数相加得偶数。承上

2、页（9）奇数连乘积是奇数，连乘中，有一个因数是偶数，积一定是偶数。（10）奇数的平方除以4余1，偶数的平方除以4余0。（11）连续的两个奇数或偶数的差是2。（12）0是偶数。例1：1+2+3+······+2008，是偶数还是奇数？解法一、利用求和公式直接求和，可判断和的奇偶性等差数列的和=（首项+末项）×项数÷21+2+3+······+2008=（1+2008）×2008÷2=（1+2008）×1004因为1004是偶数，偶数与任一自然数的积仍是偶数，所以和是偶数承上题解法二：在自然数列中，奇数

3、与偶数相同排列，在1-2008这2008个自然数中，奇数、偶数各有2008/2=1004（个），1004个奇数或偶数的和都是偶数。两个偶数的和是偶数，所以1+2+3+······+2008的和是偶数。例2、一串数排成一行，1，1，2，3，5，8，13，21，24，，55，89，······到这串数的第1000个数为止，其中有多少个偶数？分析：这串数的前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，而奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，所以从前往后的每3个数中就有1个偶数，形成了奇、奇、偶、奇

4、、奇、偶······的排列规律承上题因为这1000个数列中每3个数为一组，共分为1000/3=333（组）······1（个），而每一组的3个数中都有1个偶数，并且第三个数是偶数，因此余下的1个数必是奇数。所以到这串的第1000个数为止，有333个偶数。例3：有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时翻动，使其杯口向下，问能不能经过这样有限的“翻动”后，使九只杯口全部向下，为什么？分析：对每只杯口向上（下）的杯子，只有翻转1次、3次······后才能使杯口向下（上），即对每只杯子翻动奇数

5、次后，其杯口的朝向才能改变。现在要求九只杯口向上的杯子杯口全部向下，因为奇数与奇数的积是奇数，所以要使九只杯子全部改变朝向，也只有经过奇数次翻转。承上页解：由题意知，每次只能同时翻转四只杯子，这就是说不管如何翻转，最后翻转的次数一定是4的倍数，4是偶数，所以翻转总次数是偶数，而要想使杯子的杯口全部向下，必须经过奇数次才能完成，（这是因为每只杯子杯口翻动奇数次后，其杯口的方向才能改一次，由奇数与奇数的积是奇数可知），这里又说一定是偶数，显然前后矛盾，所以按要求无论怎么翻动，都不能使九只杯子杯口全部向下

6、。第二种解法解：把杯口朝上的状态记为+1，口朝下记下-1，开始时9只杯子的状态都是+1，它们的乘积也为+1，每次操作翻动4只杯子，相当于把9个数中的4个改变符号，但把一个乘积的偶数个因数改变符号时，并不能改变乘积的符号。因此，不管怎么操作都不能使乘积变为-1，当9只杯子杯口都朝下时，所有的状态都是-1，它们的乘积是-1，所以不可能通过此操作把9只杯口都变得口朝下。课堂练习1、任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？2、用0，1，2，3······9十个数字组成五个两位数，每个数字只用

7、一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能大，那么这五个两位数的和是多少？3、判断23×47×65×132×239的积是偶数还是奇数？4、已知83+95+77+89+A=2001，请判断A是奇数还是偶数？课堂练习5、10个小朋友排成一排（站的方向相同），做“向后转”的游戏，每次其中的3个小朋友做向后转的动作，能否经过若干次后使10个小朋友全部改变站的方向？请说明理由。6、电影院里有10盏电灯，每盏灯由一根灯绳控制，拉一下亮。10个学生依次进入电影院，第一个学生把1的倍数的灯绳拉一下，灯全亮了，第二个学

8、生把2的倍数的灯绳都拉一下，第三个学生把3的倍数的拉一下，······第10个学生把10的倍数的拉一下，最后，礼堂里有哪些灯是亮的？课外作业1、将888件礼品分别给若干个小朋友，问：分到奇数件礼品的小朋友是偶数还是奇数？2、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续下去，最后得到88、66、99，问原来写的这三个数整数能否是1，3，5？3、学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？”小明说：“除