主成分分析实例

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1、在统计学中，主成分分析（principalcomponentsanalysis,PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的

2、因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具主成分分析法是一种降维的统计方法，它借助于一个正交变换，将其分量相关的原随机向量转化成其分量不相关的新随机向量，这在代数上表现为将原随机向量的协方差

3、阵变换成对角形阵，在几何上表现为将原坐标系变换成新的正交坐标系，使之指向样本点散布最开的p个正交方向，然后对多维变量系统进行降维处理，使之能以一个较高的精度转换成低维变量系统，再通过构造适当的价值函数，进一步把低维系统转化成一维系统。主成分分析的主要作用体现在五个方面，第一，主成分分析能降低所研究的数据空间的维数。第二，可通过因子负荷的结论，弄清X变量间的某些关系。第三，可用于多为数据的一种图形表现方法。第四，可由主成分分析构造回归模型，即把各个主成分作为新自变量代替原来自变量做回归分析。第五，用主成分分析筛选回归变量

4、。案例分析：下表是关于全国31个省市的8项经济指标，以此为例，进行主成分分析。省份国内生产1居民消费2固定资产3职工工资4货物周转5消费价格6商品零售7工业产值8北京11394.892505519.018144373.9117.3112.6843.43天津2920.112720345.466501342.8115.2110.6582.51河北32849.521258704.8748392033.3115.2115.81234.85山西41092.481250290.94721717.3116.9115.6697.25内

5、蒙5832.881387250.234134781.7117.5116.8419.39辽宁62793.372397387.9949111371.7116.11141840.55吉林71129.21872320.454430497.4115.2114.2762.47黑龙江82014.532334435.734145824.8116.1114.31240.37上海92462.575343996.489279207.4118.71131642.95江苏105155.2519261434.9559431025.5115.811

6、4.32026.64浙江113524.7922491006.396619754.4116.6113.5916.59安徽122003.5812544744609908.3114.8112.7824.14福建132160.522320553.975857609.3115.2114.4433.67江西141205.111182282.844211411.7116.9115.9571.84山东155002.3415271229.5551451196.6117.6114.22207.69河南163002.741034670.35

7、43441574.4116.5114.91367.92湖北172391.421527571.684685849120116.61220.72湖南182195.71408422.6147971011.8119115.5843.83广东195381.7226991639.838250656.5114111.61396.35广西201606.151314382.595105556118.4116.4554.97海南21364.171814198.355340232.1113.5111.364.33四川223534126182

8、2.544645902.3118.51171431.81贵州23630.07942150.844475301.1121.4117.2324.72云南241206.6812613345149310.4121.3118.1716.65西藏2555.98111017.8773824.2117.3114.95.57陕西261000.031