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1、第16卷第4期河南教育学院学报(自然科学版)Vo.l16No.42007年12月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience)Dec.2007狭义del算子与符号运算法史天治(淮阴师范学院物理系,江苏淮安223001)摘要:符号运算法指证明含del算子的恒等式的简便方法.del算子也叫nabla算子(因其符号形似希腊nabla竖琴而得名),哈密顿算子或汉密尔顿算子.该文明确地给出了狭义del算子(也叫笛卡尔坐标系中的矢量偏微分算子)的定义与运算规则.该文对于统
2、一目前有关场论著作中的符号以及电磁场理论的教学有重要的作用.关键词:del算子;nabla算子;符号运算法;矢量分析;张量分析;并矢分析;哈密顿算子中图分类号:O183文献标识码:A文章编号:1007-0834(2007)04-0016-04符号说明:f,g表示任意标量;a,b表示任意矢(将于本学报下期刊出)严格论证了只要采用狭义量;5表示任意张量;>表示-定义为.;狭义拉普拉del算子和广义del算子,则此矛盾可完全解决,不222555需采用其他符号.本文还详细论述了符号运斯算子$=2+2+2.[5-6]5x5
3、y5z算法.1为什么要区分del算子只要我们始终采用右手坐标系,就不存在伪矢[7]威廉#罗恩#汉密尔顿(WilliamRowanHami-l量(或叫赝矢量)和伪标量(或叫赝标量),从而一ton,1805)1865)是爱尔兰历史上最伟大的数学家.切矢量都是真矢量,都是一阶张量;而一切标量都是他建立了汉密尔顿力学,提出了系统的四元数理论,真标量,都是零阶张量.1843年在研究四元数算法中提出了del算子$=因为一切标量都是零阶张量,一切矢量都是一555阶张量,所以矢量分析理应成为张量分析的特殊而i+j+k(,ij,k
4、分别为笛卡尔坐标系的x,y,z5x5y5z常用的组成部分.矢量分析是张量分析的理论之源,坐标轴单位矢量).由定义可见,$既具有矢量的性张量分析是矢量分析的推广和进一步发展.故我们质(当然它不是真正的矢量),又具有偏微分算子的应尽可能地统一矢量分析与张量分析中的符号.555性质.在矢量分析中有$#a=(i+j+k)#2狭义del算子$5x5y5z定义WilliamRowanHamilton最初提出的del5a15a25a3(a1i+a2j+a3k)>++,55x5y5z算子为狭义del算子,并用符号$表之,即$>i
5、+5x5555a#$=(a1i+a2j+a3k)#(i+j+k)>a1555x5y5z5xj+k.规定$只适用于笛卡尔坐标系(Cartesian5y5z55+a2+a3.coordinates,即标准直角坐标系),其运算规律如下:5y5z5555f5f5f显然.$#aXa#$.同理可证$@aX-a@$,(1)$f=(i+j+k)f>i+j+k,5x5y5z5x5y5z[1-3]$fXf$.但在张量分析中却有$f=f$,$#a555555f$=f(i+j+k)>fi+fj+fk,=a#$,$@a=-a@$.于是在矢
6、量分析和张量分5x5y5z5x5y5z析中出现了矛盾的公式,因此我们必须区分del算显然$fXf$.[4]子.本文以及本人的另一篇论文5广义del算子6收稿日期:2007-08-01作者简介:史天治(1969)),男,陕西西安人,淮阴师范学院物理系教师.#16#5555a35a15a25a3(2)$#a=(i+j+k)#(a1i+a2j+b3)j+(b1+b2+b3)k5x5y5z5y5z5z5z5a15a25a3b#$a>(b1i+b2j+b3k)#($a1i+$a2j+a3k)>++5x5y5z$a3k)55
7、55a15a15a1a#$=(a1i+a2j+a3k)#(i+j+k)>5x5y5z=(b1i+b2j+b3k)#(ii+ji+ki+5x5y5za5555a25a25a25a35a35a31+a2+a3,显然$#aXa#$.5x5y5zij+ij+kj+ik+jk+kk)5x5y5z5x5y5z555(3)$@a=(i+j+k)@(a1i+a2j+5a15a15a15a25a25x5y5z=(b1+b2+b3)i+(b1+b2+5x5y5z5x5yijk5a25a35a35a3555b3)j+(b1+b2+b3
8、)k=(b#$)a,a3k)>5z5x5y5z5x5y5z显然$a#bXb#$a.a1a2a3(6)$a@b>($a1i+$a2j+$a3k)@5a35a25a15a35a25a1>(-)i+(-)j+(-)k,ijk5y5z5z5x5x5y(b1i+b2j+b3k)>$a1$a2$a3>555a@$=(a1i+a2j+a3k)@(5xi+5yj+5zk)b1b2b3ij
