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1、2中等数学●数学活动课程讲座●离散量的最大值和最小值问题熊 斌(华东师范大学数学系,200062)rrr(本讲适合初中)n=p12k1p2⋯pk,最大值和最小值问题是数学竞赛中的热其中p1,p2,⋯,pk是n的不同的质因数,门话题,而离散量的最大值和最小值问题,在r1,r2,⋯,rk均为正整数.数学竞赛中往往扮演着“押台”的角色.于是,n的不同的正约数个数为离散量最值是指它的变量取整数,平面(r1+1)(r2+1)⋯(rk+1).上有限个点等离散量,求在某些条件下的最由题意得值.这类非常规的最值问题,尚无一般的方2法(r1+1)(r2+1)⋯(rk+1)=75=3×5.,
2、不同的题需用不同的策略和技巧,因此难度较大.所以,n至多有3个不同的质因数.解离散量最值问题的常用方法有如下为了使n最小且n为75的倍数,n的质3种:因数应取2,3,5,且3至少出现1次,5至少1.枚举法出现2次,即令rrrn=21×32×53,枚举就是穷举,首先,把变量的所有可能都列举出来,然后,比较它们的大小,从中找(r1+1)(r2+1)(r3+1)=75,出最大值和最小值.当变量的取值个数较少r1≥0,r2≥1,r3≥2.时,这种方法很有效.满足上述条件的(r1,r2,r3)为2.逐步调整法(4,4,2),(4,2,4),(2,4,4),(0,4,14),逐步调整
3、法是指在确定最大值或最小值(0,14,4),(0,2,24),(0,24,2).存在的前提下,先通过逐步调整变量之间的经过计算可得,当r1=r2=4,r3=2时,关系来找出取到最值所需满足的必要条件,442n取最小值,此时,n=2×3×5=32400.然后再求得最大值或最小值的方法.利用逐说明:本题就是先缩小n的取值范围,步调整法需注意的一点是,必须在最大值或进而把所有的情况都一一列举出来比较大小最小值存在的前提下,调整才是有意义的.后,再寻求问题的解.3.估计上(下)界,构造实例例2已知x1,x2,⋯,x10都是正整数,首先,利用不等式求得(或证明)该变量22且x1+x
4、2+⋯+x10=99.求x1+x2+⋯+的上界或下界,然后,构造出一个实例说明此2x10的最大值和最小值.上界或下界能够达到,这样便求得了最值.解:因为把99写成10个正整数的和的例1 设正整数n是75的倍数,且恰有写法只有有限种,因而,一定存在一种写法,75个正整数约数(包括1和自身).求n的最小值.使得这10个正整数的平方和达到最大;也一解:设n的质因数分解式为定存在一种写法,使得这10个正整数的平方和达到最小. 收稿日期:2005-04-12假定x1,x2,⋯,x10满足x1+x2+⋯+2005年第7期3222x10=99,且使得x1+x2+⋯+x10取得最大(2
5、)如果把(1)中的“4×4”方格纸改成值.不妨设x1≤x2≤⋯≤x10.“n×n”(n≥5)的方格纸,其他条件不变,那若x1>1,因为么,至少要染多少个小方格?x1+x2=(x1-1)+(x2+1),解:(1)若染色的小方格数小于或等于且(x224,则可适当地划去两行与两列,把染色的小1-1)+(x2+1)22方格都划去.=x1+x2+2(x2-x1)+222若染色的小方格数为5,则由抽屉原理>x1+x2,知,必有一行至少有2个小方格染色,划掉这所以,当用x1-1,x2+1,x3,⋯,x10来代一行,剩下的染色的小方格数不超过3,再划替x1,x2,⋯,x10时,它们的和仍
6、然是99.但它去一行两列可把染色的小方格全部划去.们的平方和却增加了.这与x1,x2,⋯,x10已使若染色的小方格数为6,则必有一行至222得x1+x2+⋯+x10取得最大值矛盾,故x1=1.少有3个小方格染色或有两行各有2个小方同理,x2=x3=⋯=x9=1.格染色,故划去两行至少能划去4个染色小于是,x10=90.方格,剩下的染色的小方格不超过2,再划去222故x1+x2+⋯+x10的最大值为两列就可以把它们全部划去.22221+1+⋯+1+90=8109.所以,染色的小方格数大于或等于7.222下面求x1+x2+⋯+x10的最小值.又按图1所示的方式假定x1,x2,
7、⋯,x10满足x1+x2+⋯+染色,则划去任意两行和222x10=99,且使得x1+x2+⋯+x10取得最小两列都不能把染色的小方格全部划去.值.不妨设x1≤x2≤⋯≤x10.所以,至少要染7个小若存在xi、xj(1≤i
