《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案

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1、《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案第26章离散量的最大值和最小值问题26.1.1**某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛巾分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛屮至少得了多少分？解析设前5场比赛的平均得分为X，则前9场比赛的平均得分为5X+23+14+11+205%+689--9-•由题设知9解得x<17.所以前5场最多得分是5x17-1=84（分）.再设他笫10场比赛得了>，分，那么有y+84+68〉18xl0=

2、180,解得;V〉28y>28.故他第10场比赛得分>29分.另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意.所以，他在第10场比赛中至少得了29分.评注在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题.26.1.2*从任意/r个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n的最小值.解析任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是

3、它们的差是12的倍数.又1，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数.综上所述，至少需任取13个数才能满足题意.26.1.3**从1，2,3,…，20屮，至少任取多少个数，可使得其屮一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍.解析从1，2,…，20中取7,8,…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍.把1，2,…,20分成如下14组••{1，3,9}，{2,6,18},{4,12},{5,15）,{7},f8},{10},{11},{13}，{14},{16},{17},{19},{20},从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数

4、的奇数倍.26.1.4**如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子.问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析取100个小伙子是这样的一种特殊情况.他们的身髙互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子S多有100个.26.1.5**代数式rvz-rvvy-

5、值.解析(1)因为rvz-my-suz-v+=1+1+1+14-1+1+1=0(mod2),所以，此代数式的值为偶数.(2)原成=w.v(5-r)+/x(w-v)+z(/t-5W)，要使原式取得最大值，贝G5,与r取1与-1，w与v取1与-1.但是，若r与v的取值相同(1或-1)，则5■与w的取值也相同，有rv-sw=O.若/•与v的取值不同.则^与《的収值也不同，也有rv-5i<=0.所以，原式的最大值为4.这时取r=-1,«=1，v=-1,w=y=t=x=].26.1.6**一个三位数除以43,商是余数是Gz、都是整数)，求^+/2的最大值.解析由带余除法可知：

6、43xa+b=―个三位数.①因为6是余数，它必须比除数小，即6彡42.根据①式.考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23(因为24X43〉1000).当a=23时，因为43X23+10=999,此时办为10.当tz=22时，可取余数6=42，此时43X22+42=998.故当t/=22,/)=42时，6/+Z?值最大，最大值22+42=64.从1,2,…，1001这1001个正整数中取出个数，使得这《个数中任意两个数的差都不是素数，求/z的最大值.解析设正整数6?被取出，贝!Rz+2，“+3，tz+5，u+7都不能被取出.而“+1，6/4-4,tz+6三者中至多只

7、能有一个被取出.所以连续8个整数《，6/+1，(7+2,«+3,6/+4，(7+5，(7+6，(7+7中至多有两个数被取出，而1001=8X125+1,所以打彡2X125+1=251.又1，5,9,…，1001这251个数满足题设条件.所以的最大值为251.26.1.8***从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出來的数中的任意三叫、数6Z、b、c、a