第二节 偏导数

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1、第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程：一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=f(x,y),如果只有自变量x变化,而自变量y固定,这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z=f(x,y)对于x的偏导数.　　定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时,相应地函数有增量f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0).如果极限存

2、在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作,,,或.　　例如.类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为,记作,,,或fy(x0,y0).偏导函数:如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量的偏导函数,记作,,,或.偏导函数的定义式:.类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为,,zy,或.偏导函数的定义式:.求时,只要把y暂时看作常量而对x求导

3、数;求时,只要把x暂时看作常量而对y求导数.讨论:下列求偏导数的方法是否正确？,.,.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为,其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.　　解,.　,.　　例2求z=x2sin2y的偏导数.　　解,.　　例3设,求证:.　　证,..　　例4求的偏导数.　　解;.　　例5已知理想气体的状态方程为pV=

4、RT(R为常数),求证:.证因为,;,;,;　所以.　　例5说明的问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.　　二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数的几何意义:fx(x0,y0)=[f(x,y0)]x¢是截线z=f(x,y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率.fy(x0,y0)=[f(x0,y)]y¢是截线z=f(x0,y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率.偏导数与连续性:对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如在点(0,0)有,fx(0,0)=0

5、,fy(0,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续.　　提示:,;,.当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,有;当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时,有.因此,不存在,故函数f(x,y)在(0,0)处不连续.类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为,,zy,或.偏导函数的定义式:.二.高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数,,那么在D内fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的二偏导数.按照对变量求

6、导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=f(x,y)在区域D内的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数,,,.　　其中,称为混合偏导数.　,,,.　　　同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.　　二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.　　例6设z=x3y2-3xy3-xy+1,求、、和.　解,;,;,.由例6观察到的问题:定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续,那么在该区域内

7、这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.　　例7验证函数满足方程.　　证因为,所以,,,.　　因此.　　例8．证明函数满足方程,其中.　证:,.　　同理,.　　因此　　.提示:.