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1、因式分解因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法.1.添项.拆项法添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.例1（1986年扬州初一数学竞赛题）分解因式（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-
2、2x2(1+y2)=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)例2（第11届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个，对于任意的自然数m.z=n4+a都不是素数.证明设a=4k4（k为大于1的自然数），则z=n4+a=n4+4k4=n4+4n2k2+4k4-4n2k2=(n2+2k2)2-4n2k2=(
3、n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2].①∵k为大于1的自然数，∴(n+k)2+k2＞1,(n-k)2+k2＞1故①的右边两个因子都大于1，故当k＞1时，z是合数.由于大于1的自然数k有无穷多个，故有无穷多个自然数a，使n4+a对一切自然数n总非素数2.待定系数法若两多项式f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.解由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设3x2+5xy-2y2+x+9y
4、-4=(3x-y+a)(x+2y+b)=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.①②③比较两边系数得由①,②联立得a=4,b=-1,代入③式适合.∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).例4(1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.证明设x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr(其中p、q、r均为整数)比较两边系数得pr=d.又bd+cd=d(b+c)是奇数,故b+c与d均为奇数,那么pr也
5、是奇数,即p与r也是奇数.今以x=1代入(因为它是恒等式)得1+b+c+d=(1+p)(1+q+r).①∵b+c,d为奇数,∴1+b+c+d也为奇数,而p为奇数,∴1+p为偶数.∴(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的.所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积.3.换元法例5分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120令x2+5x=A,代入上式,得原式=(A+6)(A
6、+4)-120=A2+10A-96=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)例6证明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必为完全平方数解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1为完全平方数.说明:这里未设新元,但在思想上把a2+3a看作一个新元素.4.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+
7、(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2
