证明不等式的一种巧妙方法——构造辅助函数法

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1、第29卷第9期绍兴文理学院学报V01．29No．92009年9月JOURNALOFSHAOXINGUNIVERSⅡYSep．2009证明不等式的一种巧妙方法——构造辅助函数法毛巨根(诸暨市学勉中学，浙江诸暨311811)摘要：中学数学中的一个难点是不等式问题，近五年的高考热点和数学竞赛中不等式所占的比例也一定程度上在增加．而函数思想已成为整个中学数学的重点和高考的热点．有些不等式采用常规方法难以解决，若能巧妙地构造函数将不等式问题转化为函数的问题，借助函数的有关性质，常能使问题获得简捷明了的解决．关键词：不等式；构造；辅助函数中图分类号：G632文献标识码-A文章编号

2、：1008—293X(2009)09—0021—05函数思想是利用函数的概念、性质和图象去分析问题、转化问题和求解问题，它是一种很重要的数学思想方法，函数是研究变量的变化规律，所以只要有变量的问题就可以利用函数思想．在求解某些数学问题中，根据问题的条件，构想、组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段．即通过构造辅助函数，把原来问题转化为研究辅助函数的性质．并利用函数的单调性、有界性、奇偶性来解决．所以构造辅助函数在代数，几何等问题中是非常常见的．近年来。有关不等式的题目愈来愈多地出现在各级数学竞赛、高考中，

3、也是竞赛、高考中热门话题之一一，不等式证明的方法很多．从化简特征上看可分为两大类：一是利用不等式的性质及重要不等式；二是辅jUJ方法，通过变量代换，构造辅助元素(如图形、函数、方程、代数式、反例等)来达到证明的目的．本文主要对六种常见不等式的构造辅助函数法证明进行探讨．1绝对值不等式绝对值不等式是数学基本知识的一部分，题型也丰富多样，当然所用到的解决方法也多样灵活，-f面我们具体用构造辅助函数来解绝对值不等式的一些题，当然可否构造函数完全是要根据不等式的结构．某些不等式从结构上接近某一函数，把某字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些性质来证明不等式．例l对任意实

4、数。和6，成立不等式_I+l口+0I1}+ln}+rl+l01．分析：不等式中四个式子形状相似，相当于函数)=r在相应四个点的函数值，为此我们根据不等式的特点构造辅助函数，将不等式的证明转化为利用函数增减性与极值来研究．i正明：fiT．f()：r，(≥0)．厂()=>0，厂()在[0，+∞)内严格递增·于是，由In+b1≤{0l+lbI，就有厂(Ia+b1)sln+bI)，昔曼T=．1．1上题可推广到～般形式即≤∑(。是常数)．i=1士午(。是常数)．+1XiI收稿日期：2009—08—07作者简介：毛巨根(1974一)，男，浙江诸暨人，中教一级，主要从事高中数学的教

5、学与研究22绍兴文理学院学报(tl然科学)第29卷解决含有绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解，但有些分式不等式中出现了绝对值也不便于去掉时，我们所采取的方法是通过分析不等号左右两边各式的相似之处，将相似的量当做是所构造的函数的两个取值点，然后利用函数的单调性来证明．2高次不等式当不等式中变量是高次的时候，展开求解是不现实的．下面我们通过几个具体例子来发现高次不等式用构造辅助函数来证明．例2【设05s1，P>l，求证：2一s+(1一)1．证明：构造函数f()=矿+(1一)P，∈[0，1]，f()在[0，1]上是连续的，在(0

6、，1)上可导，．．厂()=pxp一。一P(1一p-1，令，()=0得唯一驻点=0．5，f()在闭区间[0，1]上是连续的，所以在[0，]上有最大值1和最小值2一．，(0)=(1)：1，fI÷2≤1，·．厂()在闭区间(0，1]上的最大值是l，最小值是2I-P，故原不等式成立．．从例题中我们可以看出构造这个高次不等式的一边做辅助函数，然后通过求导，分析函数的最值问题来证明不等式．3三角函数不等式三角函数不等式在不等式证明中也比较常见．由于三角函数有奇偶性、对称型、周期性，所以在构造函数时抓住三角函数的这些特殊性质．构造辅助函数的目的就是为了充分利用三角函数的特殊性质使得

7、不等式可以轻松又简捷的得到解决．例3设0<口<1，0<<，试证：(2a一1)sinx+(1一口)sin(1—8)≥0．分析：改证(1一。)sin(1一n)之(1—2a)sinx等价于(1—2a)sinx(1—20+Ct2sinx=(1一n)sinx，即证：(1一Ⅱ)sin(1—8)≥(1—2a)sinx，即可改证sin(1一口)x≥(1—2a)sinx舒牛：．为此构造函数y：．厂()：，则证明函数在(0，丌)内是减函数即可．除了三角函数本身的这些性质外，从几何角度上考虑，(cosO，sin0)表示单位圆上的点的横纵坐标，因此在做下面类似题型时，我们不