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《均匀带电半球面底面上的电场与电势》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第38卷第3期河南师范大学学报(自然科学版)Vol.38No.32010年5月JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience)May.2010文章编号:1000-2367(2010)03-0183-03均匀带电半球面底面上的电场与电势张晓燕,冯翠菊(华北科技学院基础部,北京101601)摘要:根据均匀带电球面内电势处处相等的特点和电势叠加原理两种方法求解了均匀带电半球面底面上的电势分布;运用电场强度公式计算出均匀带电半圆环轴线一点电场强度,并利用此结果结合Taylor展开得到均匀带电半球面底
2、面上一点电场强度的级数解.关键词:半球面;电场;电势;级数解中图分类号:O441.1文献标志码:A根据高斯定理,很容易得到均匀带电球面内外的电场强度和电势,许多文献还求解了球面上的电场和电[1,2]势,文献[3]进一步深入研究了导体球壳周围的电场分布,文献[4,5]使用不同的方法计算了均匀带电半球面球心处的电场强度.为了加深学生对知识的理解,拓宽学生的解题思路,我们根据均匀带电球面内各处电势相等,得到了均匀带电半球面底面上的电势.另外,将半球面看作由许多半圆环组成,我们通过半圆环轴线上一点的电势经过叠加计算出半球面底面上的电势,两种方法的结果是一致
3、的.依据得到的底面电势分布特点可以判断出半球面底面上电场强度方向,进而我们只需要求解出半圆环轴线上任一点电场强度的垂直分量,再利用电场强度叠加原理就可以得出底面上的电场强度数值.计算过程用到了Taylor展开,我们用级数形式表示了半球面底面上的电场强度解.1均匀带电半球面底面上的电势1.1由对称性求解由对称性可知,半球面底面上任一点A应与底面中心点O电势相等.若不等,当两半球面合成一个球面时,由叠加原理A点与O点电势将不等,与均匀带电球面内电势处处相等矛盾,所以我们很容易得到底面上任意一点的电势为QUA=U0=,(1)40R其中Q为半球面带
4、电量,R为球面半径,以下均同.1.2运用半圆环在轴线上一点电势叠加求解因为底面上电势处处相等,如果我们将半球面看作由许多带电量为的dq半圆环组成,只要求出各半圆环在它们共同轴线上一点A的电势叠加,就可以代表整个半球面底面上一点的电势.由图1我们可以看出2222QRdQsindr=Rsin+(Rcos+x),h=Rsin,dq=2=.(2)2R2根据电势叠加可以得到A点的电势为dqQsindQUA===.040r0822240R0Rsin+(Rcos+x)上式与(1)结果相同.收稿日期:20091009基金项目:华北科技
5、学院校基金资助项目作者简介:张晓燕(1980-),女,河北廊坊人,华北科技学院讲师,研究方向:大学物理及物理实验教学与研究.184河南师范大学学报(自然科学版)2010年2均匀带电半球面底面上的电场强度由于底面是等势面,根据电场线与等势面处处垂直,可知底面上各点电场强度方向垂直于底面.这样我们只需要计算出各半圆环在A点电场强度矢量沿垂直底面方向的分量,然后相叠加即可得到A点电场强度大小.下面我们先求解任一带电量为Q,半径为h的半圆环轴线上A点的电场强度.由图2可知rcos!=xtan=hsin∀,得到d∀=xdxd
6、2=hcoscos∀2222cosh-xtanQd∀Qxd则半圆环上单位长度带电量为dq==,2222cosh-xtan所以半圆环在A点的电场强度的垂直方向分量为2dqQxtandhQE=2042cos!=2302222=23,(3)0r20rcosh-xtan20rh其中=arctan.x下面利用上面的结果计算半球面在A点的电场强度EA.根据图1,将(3)中半圆环的带电量Q用dq代换,联立(2)式可以得到A点的电场强度为2QRsindEA=22223/2.(4)040[Rsin+(Rcos+x)]用级数解来表示上面的积
7、分结果.由Tayor展开得-3/235!327!5!3!1n(1+Bcos)=1-Bcos+2(Bcos)-3+∀+Dn(Bcos)+∀,22!23!2其中2Rx(2n+1)(2n-1)∀3!1B=22<1,Dn=n.(5)R+xn!2另外引入下面的等式0n为奇数,nn!cosd=,Cn=n2(6)0Cnn为偶数2[(n/2)!]运用(5)、(6)结论可以计算下面两式d1d223/2=223/23/2=0(R+x+2Rxcos)(R+x)0(1+Bcos)5!321n223/2(1+nB+∀+DnBCn+∀)(7)(R+x
8、)2!2222cosd1cosd223/2=223/23/2=0(R+x+2Rxcos)(R+x)0(1+Bcos
