2007-2008学年第1学期线性代数B期终考试试卷A

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1、班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线西南交通大学2007－2008学年第(一)学期考试试卷课程代码2100024课程名称线性代数B考试时间120分钟题号一二三四五六七八九十总成绩得分阅卷教师签名：注意：1．答题前，请在密封线内清楚、正确地填写班级、学号、姓名；2．请将填空题和选择题的答案填写在指定的位置，写在其它地方不得分。*试题部分开始*一、填空题（每空4分，共24分）1．设，则=；2．设，则（是/不是）向量空间；3．已知3阶方阵有特征值-1，1，2，则=；4．设矩阵其中线性无关，且，，则的通解为：；5．设，则的列向量组的一个最大线性无关组为：，=。

2、二、选择题（每小题4分，共24分）6．行列式求=（）（A）（B）（C）（D）7．设，则中的系数为()。(A)-1；(B)1；(C)-17；(D)17。8．设均为阶可逆方阵，下列各式正确的是()。(A)；(B)；(C)；(D)。9．若4阶方阵的行列式等于零，则必有（）(A)中至少有一行向量是其余向量的线性组合(B)中每一行向量都是其余行向量的线性组合(C)中必有一行为零行(D)的行向量组线性无关10．设为阶方阵，则（）(A)的特征值一定都是实数(B)必有个线性无关的特征向量(C)可能有+1个线性无关的特征向量(D)最多有个互不相同的特征值11．设非齐次线性方程

3、组的未知量个数为，方程个数为，则在条件()成立时，一定有解。(A)矩阵的列向量组线性无关；(B)矩阵的列向量组线性相关；(C)矩阵的行向量组线性无关；(D)矩阵的行向量组线性相关。三、计算题（46分）12、计算行列式。（6分）13、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分）14、设向量组，向量，问取何值时（1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示但表达式不惟一？（8分）15、已知二次型，记（1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵，使得为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（

4、14分）16、设，其中，求。（10分）四、应用题（17、18选做1个）（6分）17、某地的道路交叉处通常建成单行的小环岛，如图所示，请求出该网络流通解，并找出的最小可能值。（图上箭头为车行进方向，数字为每小时车流量，为所标路段上的车流量）18、一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C，钙和镁。其中用到了3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出：营养单位食物所含营养（mg）需要的营养总量（mg）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200请设立合适的变量建立并求解方程确定

5、该食谱。（精确到小数点后1位）*试题部分结束*请从此处开始答题：一、填空题答案填写处（每空4分）：1．；2．；3．；4．；5（1）．；（2）．题号67891011得分答案《线性代数B》参考答案及评分标准一、填空题答案填写处（每空3分）：（1）．1；（2）．是（3）．-16；（4）．或；（5）．（1）任意三列（2）3；。二、选择题答案填写处（每题4分）：1．D；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C。三、1、计算。（6分）解：注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；2、设矩阵，矩阵满足，求矩阵。（8分）解：因为所以……………2分……

6、………4分，，故可逆……………6分……………8分注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。3、设向量组，向量，问取何值时（1）能由惟一表示？（2）不能由线性表示？（3）能由线性表示但表达式不惟一？（8分）方法一：原题等价于的解的存在性问题则原方程组的系数行列式为：……2分（1）当D≠0，即时，由Cramer法则知道，原方程组有惟一解，故可惟一表示……3分（2）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时，方程组无解，故不能由线性表示……5分（3）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：系数矩阵的秩为1，

7、增广矩阵的秩为1，未知量的个数为3，此时，方程组有无穷多解。这时能由线性表示但表达式不惟一……8分方法二：原题等价于的解的存在性问题则增广矩阵为：……………3分（1）当，即时，原方程组有惟一解。故可惟一表示…4分（2）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时，方程组无解。故不能由线性表示……5分（3）当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换如下：系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为1，未知量的个数为3，此时，方程组有无穷多解。这时能由线性表示但表达式不惟一……8分4、已知二次型，记（1）写出该二次型的矩阵；（2分）（2）求一

8、个正交矩阵，使得为对角阵；（8分）（3）写出该二次型