初等数论练习题

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1、初等数论练习题-BySYF一、数的整除性rrr1、设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有n2

2、12n。2、设整数k1，证明：kk1kk(ⅰ)若2n<2，1an，a2，则2

3、a；kk+1kk(ⅱ)若32n1<3，1bn，2b13，则3

4、2b1。43、证明：存在无穷多个正整数a，使得na（n=1,2,3,）都是合数。4、设a1,a2,,an是整数，且a1a2an=0，a1a2an=n，则4n。425、设n是奇数，则16n4n11。426、设

5、n是奇数，则16n4n11。7、证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。28、证明：121

6、n2n12，nZ。2n+1n+29、证明：若n是正整数，则1343。ba10、设a和b是正整数，b>2，则21

7、21。n11、证明：若21是素数，则n是2的乘幂。n12、证明：若21是素数，则n是素数。k13、求使12347!被35整除的最大的k值。14、证明：形如6n5的素数有无限多个。15、设a、b是不全为0的整数。若axby是形如axb

8、y（x，y是任意整数）00的整数中最小的整数，那么axby

9、axby。0016、求20！的标准分解式。二、不定方程1、（1）求不定方程27x12y=35的解；（2）求不定方程3x6y12z=15的解。172、将写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5和7。1053、求方程7x13x2=41的所有非负整数解。4、求方程x12x23x3=41的所有正整数解。5、求解不定方程组：x12x23x372x15x220x3112226、解不定方程：x3y=z，x>0，y>0，

10、z>0，(x,y)=1。22227、证明方程xy=xy没有满足xy0的整数解。222228、证明不定方程xyz=xy没有满足xyz0的整数解。2229、证明：方程a1a2a3=1999无整数解。10、设整数n3，证明：必有一个商高三角形以n为其一直角边的长度。三、同余1、设p5是素数，a{2,3,,p2}，则在数列a，2a，3a，，(p1)a，pa中有且仅有一个数b，满足b1(modp)。22、设{x1,x2,,x(m)}是模m的简化剩余系，则(x1x2x(m))

11、1(modm)。15912343、（1）求313被7除的余数。（2）求8被13除的余数。kk14、设f(x)=akxak1xa0是整系数多项式，那么，存在无穷多个正整数n，使得f(n)是合数。5、设m1,m2是互素的正整数，xi分别通过模mi的完全剩余系（1i2），m=m1m2，mMi=，则x1m1x2通过模m的完全剩余系。mi6、设m1,m2,,mn是两两互素的正整数，xi分别通过模mi的既约剩余系（1imn），m=m1m2mn，Mi=，则M1x1M2x2Mnxn通过

12、模m的既约剩余系。mi7、设n>1。证明：n是素数的充要条件是(n1)!1(modn)。8、解同余方程325x20(mod161)。329、解同余方程81x24x5x230(mod7)。10、解同余方程18x39(mod69)。xb1(mod5)xb2(mod6)11、解同余方程组：xb3(mod7)xb4(mod11)。x8(mod15)12、解同余方程组：x5(mod8)x13(mod25)。13、解同余方程组3x5y1(mod7)。

13、2x3y2(mod7)a1(p1)(p2)(pa1)14.设p是素数，0

14、的乘积是二次非剩余。219、已知563是素数，判定方程x429(mod563)是否有解。2320、求所有的素数p，使得()=1，()=1。pp21、证明：若p是奇素数，N=12(p1)，则(p1)!p1(modN)。22、设一RSA的公开加密钥为n=943，e=9，试将明文m=100加密成密文C。23、设A={x1,x2,,xm}是模m的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分，maxib1证明：若(a,m)=1，b