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1、初等数论练习题信阳职业技术学院2010年12月初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=___________；(2420)=___________。2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=___________。3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。4、同余方程9x+12≡0(mod37)的解是__________。5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_______。7、18100被172除的余数是___________。8、=___________。9
2、、若p是素数，则同余方程xp-1º1(modp)的解数为。二、计算题1、解同余方程：3x2+11x-20º0(mod105)。2、判断同余方程x2≡42(mod107)是否有解？3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。三、证明题1、已知p是质数，（a,p）=1，证明：（1）当a为奇数时，ap-1+(p-1)a≡0(modp)；（2）当a为偶数时，ap-1-(p-1)a≡0(modp)。2、设a为正奇数，n为正整数，试证≡1(mod2n+2)。3、设p是一个素数，且1≤k≤p-1。证明：º（-1）k(modp)。4、设p是不等于3和7的奇
3、质数，证明：p6≡1(mod84)。初等数论练习题二一、填空题1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。3、费尔马(Fermat)数是指Fn=+1,这种数中最小的合数Fn中的n=_________。4、同余方程13x≡5(mod31)的解是__________。5、分母不大于m的既约真分数的个数为_________。6、设7∣(80n-1),则最小的正整数n=__________。7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=_________
4、_。8、=__________。9、若p是质数，n½p-1，则同余方程xnº1(modp)的解数为。二、计算题1、试求被19除所得的余数。2、解同余方程3x14+4x10+6x-18º0(mod5)。3、已知a=5,m=21,求使axº1(modm)成立的最小自然数x。三、证明题1、试证13
5、(54m+46n+2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。2、证明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n-1)!º-1(modn)，则n是素数。3、证明：设ps表示全部由1组成的s位十进制数，若ps是素数，则s也是一个素数。4、证明：若2p+1是奇素数
6、，则(p!)2+(-1)pº0(mod2p+1)。5、设p是大于5的质数，证明：p4≡1(mod240)。初等数论练习题三一、单项选择题1、若n＞1，j(n)=n-1是n为质数的（）条件。A.必要但非充分条件B.充分但非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2、设n是正整数，以下各组a，b使为既约分数的一组数是（ ）。A.a=n+1,b=2n-1B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+23、使方程6x+5y=C无非负整数解的最大整数C是（ ）。A.19B.24C.25D.304、不是同余方程28
7、x≡21(mod35)的解为（ ）。A.x≡2(mod35)B.x≡7(mod35)C.x≡17(mod35)D.x≡29(mod35)5、设a是整数，(1)a≡0(mod9)(2)a≡2010(mod9)(3)a的十进位表示的各位数码字之和可被9整除(4)划去a的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除以上各条件中，成为9
8、a的充要条件的共有（ ）。A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题1、σ(2010)=__________；(2010)=__________。2、数的标准分解式中，质因数7的指数是__________。
3、每个数都
9、有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。4、同余方程24x≡6(mod34)的解是__________。5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(modn),则n为_______（填：素数或合数）。6、3103被11除所得余数是__________。7、=__________。三、计算题1、判定(ⅰ)2x3-x2+3x-1º0(mod5)是否有三个解；(ⅱ)x6+2x5-4x2+3º0(mod5)是否有六个解？2、设n是正整数，求的最大公约数。3、已知a=18,m=77,求使axº1(modm)成立的最小自然数x。四、证
10、明题1、若质数p≥5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。2、设p、q是两
