三点共线向量式的巧妙运用

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1、４２中学数学教学２０１０年第５期三点共线向量式的巧妙运用安徽省池州一中吴成强（邮编：２４７０００）三点共线向量式：Ｐ是平面ＯＡＢ（ＯＡＢ）∴Ｐ与Ｏ在直线ＡＢ的异侧．→→→上的一个动点，ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ（ｘ、ｙ∈Ｒ），若推论２的证明类似于推论１，这里从略．Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线，则ｘ＋ｙ＝１；反之，若ｘ＋ｙ＝运用三点共线向量式解决有关三点共线问１，则Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线．题时，往往会使问题解决变得十分简便，令人叫三点共线向量式，还有下面两个重要推论．好！本文通过一些实例，探究三点共线向量式的推论１Ｐ是平面ＯＡＢ

2、（ＯＡＢ）上的一个巧妙运用．→→→动点，ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ（ｘ、ｙ∈Ｒ），若Ｏ、Ｐ位１有关三点共线的判断问题于直线ＡＢ异侧，则ｘ＋ｙ＞１；反之也成立．此类问题如果是向量形式给出的，就可根据推论２Ｐ是平面ＯＡＢ（ＯＡＢ）上的一个三点共线向量式结论直接判断．→→→动点，ＯＰ＝ｘＯＡ＋ｙＯＢ（ｘ、ｙ∈Ｒ），若Ｏ、Ｐ位例１已知Ｏ是平面内任意一点，α是任意于直线ＡＢ同侧，则ｘ＋ｙ＜１；反之也成立．角，下列向量等式一定可以判定Ａ、Ｂ、Ｃ三点共推论１的证明：线的一组是（）→→→如右图，设ＯＰ与

3、Ａ．ＯＣ＝ｓｉｎαＯＡ＋ｃｏｓαＯＢ→２→２→直线ＡＢ交于点Ｍ，则Ｂ．ＯＣ＝ｓｉｎαＯＡ＋ｃｏｓαＯＢ→→→→→ＯＭ＝ｘ１ＯＡ＋ｙ１Ｃ．ＯＣ＝ｓｉｎαＯＡ－ｃｏｓαＯＢ→→２→２→ＯＢ，ｘ１＋ｙ１＝１．Ｄ．ＯＣ＝ｓｉｎαＯＡ－ｃｏｓαＯＢ→→解因为ｓｉｎ２２设ＯＰ＝λＯＭ，易知λ＞１，α＋ｃｏｓα＝１，故选Ｂ．∴ＯＰ→＝λｘ→→变式１已知数列｛ａｎ｝满足ＯＰ→＝ａｎ·ＯＡ→＋１ＯＡ＋λｙ１ＯＢ，∴ｘ＝λｘ１，ｙ＝λｙ１，ｘ＋ｙ＝λｘ１＋λｙ１＝（

4、１－ｎ）ＯＢ→（ｎ∈Ｎ＋），Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线，求ａｎ．λ＞１．解∵Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线，反之，若ｘ＋ｙ＞１，则有ｘ＋ｙ＝λ（ｘ１＋ｙ１），∴ａｎ＋（１－ｎ）＝１，故ａｎ＝ｎ．其中ｘ１＋ｙ１＝１，λ＞１．→２→１→例２已知△ＡＢＣ，ＡＰ＝ＡＢ＋ＡＣ，→→→３３令ＯＭ＝ｘ１ＯＡ＋ｙ１ＯＢ，则Ｍ在直线ＡＢ上，→→求Ｓ△ＡＰＣ此时ＯＰ＝λＯＭ，．Ｓ△ＡＢＣ∵λ＞１，檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹檹２１ａ，两边取倒数得１≥４，从而ａ２＋

5、２４ｂ（ａ－ｂ）·＝４，当且仅当ａ－ｂ＝４ｂ（ａ－ｂ）ａ２槡ｂ（ａ－ｂ）ｂ且４ｂ（ａ－ｂ）＝１时等号成立．解得ａ＝１≥ａ２＋４≥２ａ２·４＝４，当且仅当２２ｂ（ａ－ｂ）ｂ（ａ－ｂ）ａ槡ａ槡２，ｃ＝ａ槡２时，ｕ的最小值是４．ａ－ｂ＝ｂ且ａ２＝４时等号成立．解得ａ＝槡２，ｂ槡２，ｂ＝＝ａ２２５５解法５由ａ＝（ａ－ｂ）＋ｂ，又ａ＞ｂ＞ｃ＞槡２，又ｃ＝ａ槡２＝＝时，ｕ的最小值是４．（ａ－ｂ＋ｂ）２２５５０，由均值不等式得ｂ（ａ－ｂ）≤＝４（收稿日期：２０１０－０８－１４）２０１０年第５期中学数学教学４３２１５，求ｃｏｓ∠ＢＡＣ．

6、解∵＋＝１，３３２解由２ｘ＋１０ｙ＝５，得ｘ＋２ｙ＝１．∴Ｂ、Ｐ、Ｃ三点共线．５过Ｐ作ＰＭ∥ＡＣ，→→→２５→ＡＯ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣ＝ｘＡＢ＋→５（２）ＰＮ∥ＡＢ，则ＡＮ＝１→→２→２ｙ１ＡＣ→．ＡＣ，ＡＭ＝ＡＢ，（２）３３ＣＰＣＮ２Ｓ△ＡＰＣＣＰ２作ＡＭ→＝５ＡＢ→，ＡＮ→＝１ＡＣ→，∴＝＝，故＝＝．２２ＣＢＣＡ３Ｓ△ＡＢＣＣＢ３２有关计算和证明问题则ＡＯ→＝２ｘＡＭ→＋２ｙＡＮ→．５此类问题如果善于利用三点共线向量式，往２往使问题的求解变得非常简便．∵ｘ＋

7、２ｙ＝１，５例３（２００７年江西卷）∴Ｍ、Ｏ、Ｎ三点共线．如右图，在△ＡＢＣ中，Ｏ是→５→１｜ＡＭ｜＝×６＝１５，｜ＡＮ｜＝×１０＝５．ＢＣ中点，过点Ｏ的直线分别２２交直线ＡＢ、ＡＣ于不同两点又Ｏ为△ＡＢＣ外心，Ｎ为ＡＣ中点，易知ＯＮ→→→Ｍ、Ｎ，若ＡＢ＝ｍＡＭ，ＡＣ＝⊥ＡＣ，→ｎＡＮ，则ｍ＋ｎ的值ＡＮ５１∴ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝＝＝．ＡＭ１５３为．评注本题利用三点共线向量式求解，显得解ＡＯ→＝１（ＡＢ→＋ＡＣ→）＝ｍＡＭ→＋２２非常巧妙．ｎ→例５如右图，ＰＱ过ＡＮ．２→→△

8、ＯＡＢ重心Ｇ，ＯＡ＝ａ，ＯＢ∵Ｍ、Ｏ、Ｎ三点共线，ＯＰ→＝ｍａ，ＯＱ＝ｎｂ．求＝ｂ，∴ｍ＋ｎ＝１，故ｍ＋ｎ＝２．１１２２证：＋＝３．ｍｎ变式２如图证明∵Ｇ是△ＯＡＢ重心，ＡＢＣＤ，直线Ｌ过→１（→→ａｂ，∴ＯＧ＝ＯＡ＋ＯＢ）＝＋其中心Ｏ点交ＡＢ、３３３ＡＤ于Ｍ、Ｎ点，若→１→１→即ＯＧ＝