阅读说明材料 反函数趣谈(0001)

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1、阅读材料反函数趣谈在指数函数中，x为自变量，y为因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，同学们思考一下，x是不是y的函数？在指数函数中，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点．另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式可得到对数式．这样，对于任意一个，通过式子，在R中都有唯一确定的x和它对应．此时，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说是函数的反函数．注意到，在函数中，y是自变量，x是函数，但是习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数，因此我们对调函数中的字母，把它写成，这样，对数函数是指数函数的反函数．由前

2、面的讨论可知，指数函数与对数函数是互为反函数的．类似地，我们可以得到对数函数和指数函数互为反函数．在上面的讨论过程中我们发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与的图象有且只有一个交点，这就保证了对于任意一个，都有唯一确定的和它对应，进而才能得到反函数．这就启发我们，不是任意的函数都存在反函数的，只有一一对应的函数才存在反函数．一一对应的函数是指值域中的每一个元素y只有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系．4清楚了反函数存在的条件后，我们接下来讨论反函数的性质．

3、通过画出指数函数与对数函数的图象后，我们发现它们是关于直线y=x对称的，也就是互为反函数的两个函数的图象是关于直线y=x对称的．这与我们前面的分析也是一致的，原函数与反函数是定义域、值域互换，对应法则互逆．研究反函数的性质离不开函数的单调性和奇偶性，下面的结论同学们可以自己尝试证明．一个函数与它的反函数在相应区间上单调性是一致的，也就是说如果原函数在某个区间上是单调递增（减）的，那么它的反函数在相应区间上也是单调递增（减）的．关于奇偶性，如果一个奇函数存在反函数，那么它的反函数也是奇函数；一般情况下偶函数是不存在反函数的，例外情况是f(x)=C

4、（C为常数）．学习了反函数这种重要的工具，它可以帮助我们解决很多问题．当原函数的性质不容易研究时，我们可以考虑研究它的反函数．比如当直接求原函数的值域比较困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，来看一道具体的例题．【例】已知函数，求它的值域．解析：先计算它的反函数，由得到，解得，反函数即为，反函数的定义域为原函数的值域，也就是，原函数的值域即为．4练习题1.下列函数中，有反函数的是（）A．B．C．D．2.函数的反函数为_____________．3.已知函数，求它的值域．4【参考答案】1.D2.3.(-1，1)4