简中求道——利用二项式定理的放缩功能解题举例

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1、·10·中学教研(数学)简中求道——利用二项式定理的放缩功能解题举例●杨元鲜(常州高级中学江苏常州213003)数学的简洁美是数学重要的美学特征．数学中1利用二项式定理放缩证明数列不等式有一些重要公式(如二项式定理表达式)结构对在数列的综合问题中，常常出现求某个数列的称，体现了数学公式的对称美．灵活运用它，可以简最大项或者最小项，这类问题往往可以转化成考查捷地解决某一类问题，其过程也体现出数学的简洁数列的单调性问题．而研究数列单调性的基本方法美．二项式定理可以把指数式放缩成适当的多项式有：作差法、作商法(正项数列)、考察相应函数的(往往通过去掉某些正项的方式)，从而可以简捷单调性(利用导数研究

2、函数的方法)等．对于通项明快地解决以“底数大于1的指数函数比多项式公式为口=口一g(n)(其中常数口>l，g(n)是关形式的函数增长的速度快”为命题背景的问题．这类问题通俗地表达，就是当口>1时，函数Y=口将于／7,的多项式)的数列{口}项的符号判断，可以尝随着凡的增大会“爆炸式”地增大，如常用于励志试使用二项式定理放缩来解决．的“1．0137．8”正说明了这个道理．下面笔者例1已知数列{％}和{b}满足／7,1口：o，⋯口=给出利用二项式定理放缩功能解题的一些例子，说()(其中n∈N)，若{口}为等比数列，且口=明二项式定理放缩功能的应用使得问题的解决更2，b：6+b2．加简捷、漂亮．3)当

3、m<一丢时，易知。<0，：>0，且<路．实际上本题求解中不等式，f、一J，l>厂(一4)的处理也是一个难点．3<4<2，此时厂()在(1，3)和(4，2)上单调．递增，在(，，)上单调递减，要使得对任意的∈以上几例难度较大，而善用必要条件解题，则可化难为易，化繁为简，避免“小题大做”，甚至实[，：])>，(-4)恒成立，只需现“大题小做”．因此有意识地善用必要条件解题，一)>_4)，能缩小目标范围，打开解题思路，优化解题策略，提升思维品质．但是利用必要条件解题所得结果的严即一+一>谨性往往有待于探究，因此要对所得结果作进一步8m一36，的检验或证明．在平时我们只能作适当地变化和拓化简得(m+8

4、)(2m一11)>0，展训练，开阔视野，培养动态思维，锻炼数学思想，从而m>一8，积累解题经验，提高应变能力，创造性地使用所学知识，才能从容地善用必要条件解题．故一8

5、g(x)是关于的多项式)的函数，只要充分大，2)设cn1一(其中n∈N)，记数列{c总会有f()>0．尽管这个模型是连续的函数模n}型，但有时可以先将它转化成离散模型(如数列模的前n项和为．S．型)，再利用二项式定理也能简捷明了地加以处①求S；理．②求正整数Ii}，使得对任意的n∈N，SI>S．例2已知函数)=e，g(x)=似++c．(2014年浙江省数学高考理科试题)1)，2)略．分析我们主要研究第②小题，其实质是求3)若b=c=0，试证明：对任意给定的正数口，{．s}最大项的项序号．为此，可采用作差法研究总存在正数m，当∈(m，+∞)时，恒有f()>{Js}的单调性，即判定Js一5(其中n

6、I>2)的符g()成立．号，亦即判定c的符号；再利用作差法研究数列(2015年江苏省扬州市高三期末考试试题){C}的单调性即可．根据数列的结构特点，也可以分析本题实际上就是证明对任意给定的正尝试使用二项式定理解决．数0，存在正数m，当∈(m，+∞)时，恒有e>解法1易得Cn1一，从而C1=0，帆．常规的方法是利用导数的方法解决，为此需要构造新函数来处理，但需要多次构造函数．但基于c2>0，c3>0，c4>0，当n≥5时，这2个函数结构的特殊性，也可尝试使用二项式定Cn=丽【—一]J，理来解决．证法1当0<<1时，易证e>>∞恒从而一：>0，成立．只要证明当0≥1时，总存在正数m，当∈(m，+o

7、。)时，恒有e>似成立即可，也就是故≤2lI+lna．因此，当n≥5时，Cn≥5时，2，所以t()在(。，+o。)上单调递增，又2=(1+1)≥+++⋯++c=：+=(n)=e20,一4—3