中档大题规范练(圆锥曲线)

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1、中档大题规范练——圆锥曲线1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实半轴长为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，b)，求b的取值范围．解　(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知，得a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为－y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.由题意，知解得

2、以当0)的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0，y0)，

3、PF1

4、＝.(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准

5、方程；(2)直线x＝m与椭圆C1在第一象限的交点为Q，若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M，N，使得36

6、AQ

7、2＝35

8、AM

9、·

10、AN

11、，求出直线l的方程．解　(1)∵在椭圆C1中c＝m，e＝，∴a＝2m，b2＝3m2，设椭圆C1的方程为＋＝1，联立＋＝1与y2＝4mx，得3x2＋16mx－12m2＝0，即(x＋6m)·(3x－2m)＝0，得x＝或－6m(舍去)，代入y2＝4mx得y＝±，∴设点P的坐标为(，)，

12、PF2

13、＝＋m＝，

14、PF1

15、＝2a－＝＝，∴m＝1，此时，椭圆C1的标准方程为＋＝1，抛物

16、线C2的标准方程为y2＝4x.(2)由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由消去y整理，得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.由题意知Δ＝(32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－

17、AQ

18、2＝，由已知条件可知

19、AM

20、·

21、AN

22、＝×＝.又

23、AM

24、·

25、AN

26、＝·＝·＝(k2＋1)·(4－x1)·(4－x2)＝(k2＋1)[x1x2－4(x1＋x2)＋1

27、6]＝(k2＋1)(－4×＋16)＝(k2＋1)·.∴(k2＋1)·＝，解得k＝±，经检验成立．∴直线l的方程为x－2y－4＝0或x＋2y－4＝0.3．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②，得＋＝0.因为＝－1，设P(x0，y0)

28、，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，又因为右焦点(c,0)在直线x＋y－＝0上，解得c＝，所以a2＝6，所以M的方程为＋＝1.(2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－＝0，所以设直线CD方程为y＝x＋m，将x＋y－＝0代入＋＝1得：3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得

29、AB

30、＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则

31、CD

32、＝＝，又因为Δ＝1

33、6m2－12(2m2－6)>0，即－3

34、CD

35、取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为

36、AB

37、·

38、CD

39、＝.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，⊙O：x2＋y2＝b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．(1)若P(－1，)，PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程．(2)是否存在这样的椭圆C，使得恒为常数？如果存在，求出这个常数及C的离心率e；如果不存在，说明理由．解　(1)由P(－1，)在⊙O：x2＋y2＝b2上，得b2＝1＋3＝4.直线PA的斜率kPA＝＝，而直线PA的斜率

40、kPA＝－＝，所以＝，解得a＝4.所以a2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在椭圆C，使得恒为常数．设椭圆C的半焦距为c，当P(－b,0)时，则有＝；当P(b,0)时，＝.依假设有＝.①当c－b>0时，有＝，所以(a－b)(b＋c)＝(a＋b)(c－b)，化简整理