中档大题规范练(三角函数)

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1、中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解　(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R

2、x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin－1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为(k∈Z)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z)．2．已知△ABC的三个内角

3、A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝，且函数f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－在x＝A处取得最大值．(1)求f(x)的值域及周期；(2)求△ABC的面积．解　(1)因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝，即A＋C＝.因为f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx－＝(2sin2x－1)＋sin2x＝sin2x－cos2x＝2sin，所以T＝＝π.又因为sin∈[－1,1]，所以f(x)的值域为[－2,2]．(2)因为f(x)在x＝A处取得最大值，所以sin＝1.因为0

4、所以C＝.由正弦定理，知＝⇒c＝.又因为sinA＝sin＝，所以S△ABC＝bcsinA＝.3．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．解　f(x)＝sin2x＋2cos2x＋a＝cos2x＋sin2x＋1＋a＝2sin(2x＋)＋a＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，从而sin(2x＋)∈[，

5、1]．∴f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1∈[a＋2，a＋3]，∵f(x)有最大值4，∴a＋3＝4，故a＝1.4．设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈[0，]．(1)若

6、a

7、＝

8、b

9、，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解　(1)由

10、a

11、2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，

12、b

13、2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，由

14、a

15、＝

16、b

17、，得4sin2x＝1.又x∈[0，]，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋.当x＝∈[0，]时，s

18、in(2x－)取最大值1，所以f(x)的最大值为.5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π，图象的一个对称中心为(，0)，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈(，)，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．解　(1)由函数f(x)＝sin

19、(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.又曲线y＝f(x)的一个对称中心为(，0)，φ∈(0，π)，故f()＝sin(2×＋φ)＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cosx的图象，再将y＝cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos(x－)的图象，所以g(x)＝sinx.(2)当x∈(，)时，cos2x>sinxcos2x.问题转化为方程2cos2x＝sinx＋sinxcos2x在(，)内是否有解．设G(x)＝sinx＋sinxcos2x－2cos

20、2x，x∈(，)，则G′(x)＝cosx＋cosxcos2x＋2sin2x(2－sinx)．因为x∈(，)，所以G′(x)>0，G(x)在(，)内单调递增．又G()＝－<0，G()＝>0，且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在(，)内存在唯一零点x0，即存在唯一的x0∈(，)满足题意．(3)依题意，F(x)＝asinx＋cos2x，令F(x)＝asinx＋cos2x＝0.当sinx＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x