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1、Dz=az/ax全微分的概念也可能推广到三元及以上的多元的函数，例如，若三元函数u=f(x,y,z)具有连续的偏导数，则全微分的表达式为Du例5求函数=x/y在点（2，1）处，当△x=0.1,△y=-0.2时的全增量与全微分.解全增量△z=y+△y/x+△x-y/x=1-0.2/2+0.1-1/2=-0.119因为az/ax︱(2.1)=-y/x2︱(2.1)=-1/4=-0.25az/ay︱(2.1)=1/x︱(2.1)=1/2=0.5,所以全微分Dz=az/ax︱(2.1)﹒△x+az/ay︱(2.1)﹒△y=-0.25×0.1+0.5×(-0.2)=-0.125.例6求函数
2、=X2y+tan(x+y)全微分dz.解因为az/ax=2xy+sec2(x+y),ax/ay=x2+sec2(x+y),所以Dz=[2xy+sec2(x+y)]dx+[x2+sec2(x+y)]dy例7求三元函数u=x+siny/2+eyz的全微分du.解因为au/ax=1,au/ay=1/2cosy/2+zeyz,au/az=yeyz所以Du=dx=(1/2cosy/2+zeyz)dy+yeyzdz.l2.全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知，当函数z=f(x,y)在点（xy）处可微时，全微分dz与全增量△z之差是比高阶的无穷小，因此｜△x｜,｜△y｜都很小时，常用全微
3、分dz来近似计算△z:△z≈dz即△z≈fx(x,y)△x+fy(x,y)△y或F(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+fx(x,y)△x+fy(x,y)△y,例8计算√（1.02）3+（1.97）3的近似值.根据公式F(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+fx(x,y)△x+fy(x,y)△y.需计算fx(x,y)=3x2//2√x3+y3，fy(x,y)=3y2//2√x3+y3f(1,2)=3,fx(1,2)=0.5,fy(1,2)=2,取x=1,y=2,△x=0.02,△y=-0.03,所以F(1.02,1.97)≈f(1,2)+f(1,2)+fx(1,2)△x+fx(1
4、,2)△y,取√（1.02）3+（1.97）3≈3+0.5×0.02+2×（-0.03）=2.95.习题6.31.已知f(x,y)=2x+3y-1,求fx(1,1)与fy(1,2)2.已知f(x,y)=ex+ycos(xy)+3y-1,求fx(1,0)与fy(0,1).3.求下列函数的偏导数：（1）z=arcsin(x√y);(2)z=exy/ex+ey;(3)z=√ln(xy);(4)z=(x+sinx)y;(5)z=e-ysin(2x+y);(6)u=(x/y)x;4.求下列函数的所有二阶偏导数：（1）z=x7e3;(2)z=x3+3x2y+y4+8;(3)z=cos2(ax
5、+by);(4)z=yx;5.求函数z=2x2+3y2在点（10，8）处当△x=0.2,△y=0.3时的全增量和全微分。6.求下面函数的全微分：（1）z=xy+x/y;(2)z=arcsin(xy);(3)z=ey/x(4)z=xyz.*7.利用全微分求（1.97）1.05的近似值（ln2≈0.693）.第四节复合函数和隐函数的微分法一、复合函数的微分法设函数z=f(u,∪),而u=φ(x,y),∪=ψ(x,y)都是变量x,y的函数，因而Z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是x,y的复合函数。一元函数的复合求导法则，可以推广到多元复合函数的情形。定理1设u=φ(x,y),U=ψ(
6、x,y)关于x,y的偏导数连续，z=f(u,U)关于对应的u,U偏导数连续，则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]关于x,y偏导数存在且连接，度有Z/x=z/x+z/U·U/x,Z/y=z/y+z/U·U/y,xu为了更清楚地表达复合函数中变量之间的关系，常Z用图6-7表达，这种图称为函数结构图，在进行多元复合函数的求导时，可先写出函数的结构草图，再求yU导，并牢记原则：函数对某个自变量求偏导数时，应通过一切有关的中间变量，用复合函数微分法计算至该自变量。例如，如果z=f(u,U),而u=φ(x),U=ψ(x),则z就是x的一元函数:Z=f[φ(x),ψ(x)],这时，z
7、对x的导数称为全导数，即Dz/dx=azdu/audx+azdU/aUdx.例1z=arcsinu,u==x2+y2,求az/ax,az/ay.解作函数的结构图（图6-8），由结构图可得Az/ax=dz/du·au/ax=1/√1-u2·2x=2x/√1-(x2+y2)2.Az/ax=dz/du·au/ax=1/√1-u2·2x=2x/√1-(x2+y2)2.例2求函数z=exysin(x+y)的偏导数。解设u=xy,U=x+y,则z=eusinU,作函数的结构图（图6-9），于
