资源描述：
《漫谈高数(五) 曲线积分的物理意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、曲线积分的物理意义[引用和转载请标明本文CUblog出处]定积分的求解---牛顿.拉布尼茨公式有什么几何意义?简单的说，因为F(b)-F(a)在几何上是f(x)的原函数F(x)在y轴上的线段长度，那么这个长度如何表示呢?F(b)-F(a)可以写成在区间[a,b]上面的累加Sigma(F'(x)*delta(x))，那么这个Sigma就是f(x)的定积分了。反向构造的方法联系了不定积分和定积分(图1)。太抽象了，举个有物理含义的例子(图2)。1.假设x/y平面是一个力场，一个质点在立场中受力，它受的力在x轴方向方
2、向的投影值，恰好等于它的y坐标(力的正负代表方向)。2.那么这个例子沿着曲线y^2=x，从(1,-1)移动到(1,1)，立场对它作了多少功?我们可以画出一个图形，粒子在y的负半平面受的力总是向左的(负号)，在y的正半平面受的力总是向右的，所以立场一直在x轴方向对例子做正的功。做功的积分式子分为两个部分，(1,-1)到(0,0)的过程是S[x,1,0]，dx是负数，力y=x^0.5也是负数，负负得正。所以做的总功=2*S[x,0,1](x^0.5)，这个解求很简单了。那么如果立场还有一个y方向呢?叠加的结果就是2
3、*S[x,0,1]+S[y,-1,1]，写成积分式子，就是对于坐标的曲线积分。格林公式(图3)的意义在于:一维的定积分通过牛顿---莱布尼茨公式得到了完满的解决，等于不定积分原函数的两个取值之差。那么格林公式的意义呢?曲线积分，分成dx和dy的两部分分别证明。考虑凸面曲线的情况，因为其他情况可以分解为若干个凸面曲线的情况。例如要证明格林公式中关于dy的部分，就可以看作很多条平行于x轴的线穿过被积分的曲线，其中每一条直线和曲线交与两点，靠近y轴左半平面的点记做Q1，靠近y轴右半平面的点记做Q2，那么根据曲线积分的
4、正向定义，逆时针方向，Q1点的微元dy是正的，Q2点的微元dy是负的。然后微元的和就是Q1*dy+Q2*(-dy)=(Q1-Q2)dy。好了，Q1-Q2又是多少呢?由牛顿莱布尼茨公式得到它是Q2-Q1这条线段上Q'(x)的积分和。那么积分和的和就是一个2重积分。用一个黎曼球面我们把
5、z
6、从0到无穷大的所有的矢量影射到了一个南北极的球面上面(彩图右上)，无穷的数域变成了有穷的数域。微分方程变成指数方程，纯为粉方程类似线形代数的方程组由通解和特解组成解系；指数变成拉伸和旋转，平面几何的问题变成解析几何的问题。举个例
7、子，如何判断两条直线是否垂直，那么z1(角度Theta1)和z2(角度Theta2)互相垂直相当于z1和z2之间的夹角=正负90度。由于复数的乘法包含了角度的相加，那么z2的共轭矢量角度就是-Theta2。它们两个相乘的结果矢量角就是Theta1-Theta2，如果这个角度是90度，那么z1*z2'就应该是一个纯虚数，反之，z1*z2'是个纯虚数，就说明z1和z2垂直。所谓的"虚数"并不是不存在，而是它的值在实数轴x上面的投影总是0。那么写出来就是a+bi与c+di正交的充要条件就是ac+bd=0----看起来
8、像是线形代数里面的[a,b]与[c,d]互相正交的充要条件是矢量点乘=0。复数，确实是用线形代数的方式在研究高等数学，把函数的研究统一到了解析几何。这里，代数和几何没有区别。再举一个例子，平面几何的命题(图4)：一个三角形AB=AC，AB上有线段mn,AC上有线段jk，长度mn=长度jk，证明mj的中点x和nk的中点y，连线垂直于BC。这道题如果用初等数学平面几何的性质，脑袋破了都很难证明，因为平面几何的定理是用语言表述的某种性质，证明的过程也是和人对图形的感性认识密切相关，例如垂直平分线，等腰三角形，这些自然
9、语言的概念用起来太费劲，而且必须结合图形本身来使用。OK，用复数来证明，使用一个形式语言的演算系统：1.假设AB是实数轴，AC是和AB夹角为a的向量，那么假设等腰边长为l，那么AB=l,AC=l(cosa+isina)，BC=AC-BC=l(cosa-1+isina)。2.假设mn和jk的长度为r，m=M+0i，j=M(cosa+isina)，那么n=M+r,k=(M+r)(cosa+isina)。3.mj的中点就是d1=(m+j)/2，nk的中点就是d2=(n+k)/2，两点之间的连线的方向矢量f1=d2-d
10、1=(n+k-m-j)/24.BC的共轭矢量f2=l(cosa-1-isina)5.f1*f2，去掉实系数=(cosa+1+isina)(cosa-1-isina)，实部=cosa^2-1+sina^2=0，所以是个纯虚书，根据上例的结果，f1和f2垂直，证毕。再举一个证明题：平行四边形对角线的平方和=相邻对角线平方和的两倍。那么设四边形的两条边是矢量z1和z2，那么
11、z1+z2
12、^2
