有限元接触算法综述

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1、有限元接触算法综述摘要：接触问题是一种高度的非线性问题，普遍存在于实际工程实践中。本文对于接触问题的研究现状、求解特点以及接触模式等问题进行说明，并对接触问题的有限元算法进行概括，重点分析了直接迭代法（包括位移法和柔度法）、Lagrange乘子法、罚函数法和变分不等式法，对接触问题的有限元理论和实验研究提供一些建设性的参考意见。关键字：接触问题，有限元，算法接触现象广泛存在于机械工程、土木工程等领域，如齿轮的齿间啮合，汽（气）轮机及发动机中叶片与轮盘的榫接，两物体的撞击（动态接触）等。实际的工程结构系统往往分成几个非永久

2、性连在一起的部分，这些部分之间的力是靠它们之间的挤压、甚至冲击来传递。简单的弹性接触问题在19世纪末Hertz就已经开始研究，但只有在有限元方法及计算机出现以后，接触问题的研究才有了长足发展，并达到实用化程度。接触问题的特点是其属边界非线性问题，边界条件不再是定解条件，而是待求结果；两接触体间接触面积与压力随着外载的变化而变化，并与接触体的刚性有关。接触模式问题一般指描述两接触体间的力的传递和不同载荷下接触状态的变化，可以分为点对点（node-to-node）接触模式和点对面（node-to-surface）接触模式。其

3、中，前者将两接触体的接触面分成同样的网格，使结点组成一一对应的结点对，假定接触力的传递通过结点对实现，接触面上各局部区域的接触状态也相应地按结点对来判断，其优点是直观、简单、易于编程，缺点是对于复杂接触面情形，网格结点一一对应不易做到；后者先将两接触体人为地分为主动体（masterbody）与被动体（slavebody），并假定主动体网格中的一个结点可与被动体表面上的任意一点（不一定是网格结点）相接触，其优点是两接触体可根据自身情况剖分网格，缺点是方法较复杂、编程难度大。自二十世纪七十年代开始至今，有关的研究工作和成果一

4、直不断，提出了多种求解方法或技巧。总的看来，接触问题的有限元解法可分为两大类，一类以我们常用的有限元法(即能量泛函经变分后得到的方程组)为基础，另一类是数学规划法，它将这类问题视作能量泛函的极值问题而通过数学规划方法求解。接触边界上的受力变形条件则通过迭代、引入用罚函数、Lagrange乘子法等技巧来满足。本文介绍接触问题的有关有限元算法，并详细介绍其基本原理和优缺点。1.直接迭代法这是最早应用的方法之一。该法以普通有限元法的计算公式为基础，通过接触面上的结点在不同接触状态下应满足的位移及力的条件，将各接触体联系起来，最

5、终建立整体(即包括所有接触体)的求解方程。计算时，因加载变形后的状态无法预知，故常需预先假设一种接触状态，它与加载后的状态通常并不相符，因此计算是一个迭代过程。另一方面，同一般的结构分析计算一样，求解时可以位移为待求量，相应的方法称为“位移法”(或“刚度法”)，也可以力为待求量，称为“柔度法”或待求量中既包括位移又包括力，则为“混合法”。（1）位移法[1]本方法是Wilson及Parsons于1970年提出来，所解决的是两个接触体光滑接触的问题，虽然简单，但用以说明这类方法的原理却很方便。这类方法实际是以经典问题的有限元

6、求解公式为基础。假设两物体为和'，其各自的有限元求解方程可写为：UFUFcc[]K(1)UF''ccUF''式中，U、U'分别表示和'的非接触结点，U、U'分别表示接触边界cc结点的位移，F、F'、F、F'是相应的结点力。当发生接触时，U、U'存在cccc着关系：UU'(2)cc式中，为接触面之间的初始间距。节点力F、F'则可以写成：ccFFF(3)cF''FF(4)c式中，F、F'为体力产生的结点荷载，F为两接触体间的作用力。将式

7、(2)~(4)代入式(1)，经过简单运算可以得到：UF0u[K]UCFF'[K](5)U'F'0u式中，[]K、[]K由[]K计算而得。上式的等号右端均为已知量，解方程后可以得到结点位移，并进一步求得作用力、应力等量。由于假设接触面是光滑的，故接触面上的切向作用力始终保持为零，上述计算过程比较简单。而实际上，接触面通常是不光滑的，接触点可能处于粘结、滑动、分离等不同的接触状态。例如，处于滑动状态时，为建立求解方程，就需利用到公式：P

8、P(P'P')(6)snsn式中，P(P')为接触结点的法向作用力，P(P')为切向作用力，并假设接nnss触边界上的粘聚力c为零。显然，此时的计算过程要复杂得多。继Wilson和Parsons提出前述光滑接触的计算方法后，Chan和Tuba等人发展了非光滑接触的计算方[2,3]法。由于位移法的总刚[]K与接触体所处