采用试错接触算法的板料成形有限元模拟技术

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1、采用试错接触算法的板料成形有限元模拟技术摘要：以金属板料成形过程为对象，采用基于板壳理论的8节点壳单元，以Kirchhoff应力张量和Green应变张量作为应力与应变的度量，采用有限变形的UpdatedLagrangian列式，研究有限元方法模拟成形过程的技术。在此基础上，提出了一种直接试错的接触算法，将非线性的接触边界条件线性化处理，接触处理与有限元计算相对独立。通过试验结果与计算结果的比较，说明采用的模拟算法是合理可行的。   叙词：金属板料 成形 有限元 模拟 接触　0 、前言　　板料冲压成形是机械工业中一种重要的加工方法，

2、在航空、宇航、汽车等制造领域均有着广泛的应用。长期以来，保证成形零件的成形质量、降低废品率，一直是板料成形研究的目标［1，2］。从力学角度而言，板料成形是一个同时涵盖几何非线性、材料非线性、边界非线性的复杂的力学过程。以往，分析成形问题多采用基于塑性理论的解析方法，由于成形过程的物理复杂性，不得不作出较多的简化和假设，这就使得解析方法只能进行很简单的成形问题的分析。近些年发展起来的板料成形的有限元模拟技术，使得对复杂成形问题的模拟分析成为可能，在优化成形工艺、提高成形质量、降低产品开发成本等方面将发挥潜在的重要作用。然而，目前的板

3、料成形模拟技术仍存在诸多问题亟待解决，因此仍是国际上成形领域的研究热点［3～5］。　　本文以金属板料成形过程为对象，研究利用弹塑性有限变形增量有限元方法模拟成形过程的技术。采用基于板壳理论的8节点壳单元，以Kirchhoff应力张量和Green应变张量作为应力与应变的度量，建立了有限变形的UpdatedLagrangian列式。在此基础上，提出了一种直接试错的接触算法，在每一增量步进行接触搜索，之后交替进行几何协调处理与接触力的协调处理，直至几何协调与接触力的协调同时满足。通过试验结果与计算结果的比较，说明采用的模拟算法是合理可行

4、的。1、8节点等参壳单元　　由于板料实际上是一种板壳结构，因此采用根据板壳理论建立的壳单元进行板料成形模拟，显然是合适的。作者在板料成形模拟中采用了一种8节点等参壳单元，该单元满足板壳的两个假设，其一是中面法线的物质线元在板壳变形后仍为直线，其二是忽略与中面垂直的应力分量所产生的应变能，即认为垂直于中面的应力分量为零。　　在该单元中定义了4种不同的坐标系：总体坐标系(直角坐标系)，节点坐标、总刚度矩阵、位移以及外载力矢均定义于该坐标系，坐标用xi(i=1，2，3)表示，位移用ui表示，ei为3个坐标轴方向的单位矢量；随体的曲线坐标

5、系，如图1所示，ξ和η是壳单元中面的两个曲线坐标，ζ是厚度方向的线性坐标；中面节点处的节点坐标系vik，其中k指明此节点为单元的第k个节点；最后一种坐标系为单元内某一点处的局部坐标系x′i，x′1取该点处ξ方向的切矢，由该点处ζ方向的切矢与η方向的切矢叉乘得到x′3，x′2由x′3与x′1叉乘得到，x′i单位矢量化可得到局部坐标系的坐标基矢量e′i。　　壳单元内任意点的位置坐标，可以由节点坐标插值得到　　　(1)式中　m——表示中面　　　n——壳单元的节点数　　　δk——节点k处壳的厚度　　　Nk(ξ，η)——插值函数图1 8节点

6、壳单元极坐标系　　在总体坐标系中，壳单元的位移场由节点处法线的5个自由度来描述，即法线中点的3个位移umik和法线绕V1k和V2k的2个转角αk和βk，如图2所示。这样，可由单元节点处的位移插值得到单元的位移场图2 壳单元的位移模式(2)　　为了引入厚度方向应力分量为零的假设，单元中的应变在局部坐标系x′i中定义ε=｛εx′，εy′，γx′y′，γy′z′，γx′z′｝T　　　(3)2、有限元求解列式　　物体的变形是连续的，从初始时刻到t+Δt时刻之间任一时刻的物体构成都可以作为参考构形建立有限元列式。实际应用中常采用两种参考构形

7、，一种以未变形时的初始构形为参考构形，称作TotalLagrangian描述，另一种是以t时刻的平衡构形为参考构形来描述t+Δt时刻的变形，称作UpdatedLagrangian描述(或UL方法)。考虑到成形的特点，采用UL有限元列式。2.1 有限变形的有限元列式　　当质点在邻域内做刚性运动时，Kirchhoff应力张量的各分量在固定于空间的坐标系中保持不变。而Green应变率张量也是与刚性转动无关的量，并且Green应变εij与Kirchhoff应力σij在能量上是共轭的。因此，在本构方程中采用Kirchhoff应力和Green

8、应变作为应力和应变的合理度量。　　以t时刻的构形为参考构形，t+Δt时刻的虚功方程为　　　(4)式中　V，Aσ——t时刻构形的体积区和受载表面区　　　p,k——t+Δt时刻定义在t时刻构形上的面力　　　b,k——t+Δt时刻定义在t时刻构形上的体力