数学严密性分析

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1、数学严密性分析引言在数学分析中注入严密性是至关重要的。纵观古今中外，有多少定理由于严密性不足而未被证实，又有多少即将成功的证明由于严密性的缺失而功亏一篑。数学发展本身是一个不断改进，不断发展的过程，而对于某些新的问题及研究方法，在提出时很有可能在严密性方面有着严重缺陷或者考虑不尽周到，甚至是错误的，后人对其进行不断地发现和足够的深入研究后，在一次又一次错误的基础上，对其进行改进，使其真正得到完善以及提高，成为人类文明以及数学发展历史上的宝贵财富。正文本文主要论述数学研究中严密性的重要性，将通过论述以及举出历史上大量数学研究中的实例

2、证实数学研究中严密性与创造性缺一不可。数学的发展通常由两部分组成，发现和完善，这两部分同样重要且缺一不可。数学发展需要创新这一点概念相信已经十分普及了。发现问题是科学研究的开始，是人类发展的开端，数学是世界万物的根源，数学问题的发现来源于生活，却又高于生活。数学是生活中问题的抽象化，是由具体问题的抽象化过程。举一个非常简单的例子，圆作为一个生活中广泛出现的一个图形，对于它的研究曾是数学史上的一大难题，尤其是圆周率的计算，在计算机发明之前是十分困难的，很难精确地，而这样困难的数学问题，让无数数学家绞尽脑汁的问题，做出无数次投针实验和

3、演算的难题，正来源于生活中非常常见的图形圆。在数学发展史上，一代又一代优秀的数学家们在一个个具体问题的基础上，一步一步发现新的问题，发展数学文明。而数学问题的完善正是本文的重点。完善数学问题一方面是严密地叙述前人提出的定理及定义，另一方面可以对前人提出的问题提出自己的看法及质疑。在数学分析中，有些数学概念的完整性、严密性往往不被人注意，由于有时对问题的讨论影响不大，因此常常被从轻处理。甚至有时仅以例题的形式给出概念，不强调其严密性。但从数学本身的特点看，从一个全局的角度看来，一个概念的完整、准确、严密与否，常常影响到整个数学基础的

4、稳固以及整个数学界。在数学问题的完善以及严密加固方面，越为古老、越为基础的数学问题做得越好，比如微分积分等概念，无穷大无穷小等概念都完善得比较好。在数学概念完善及发展的过程中，必须提出的是柯西。柯西是以他提出的柯西不等式享誉整个数学界的，其实，他在数学概念及定理的完善及严密化上作出的贡献也是十分巨大的。首先先介绍一下柯西其人。柯西1789年出生于法国巴黎，父亲是法国波旁王朝的官员。柯西在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式都是以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧

5、拉的人，他一生共有789篇论文及几本书。他在数学的各个领域的贡献都是巨大的。柯西关于分析基础的著作是他的《代数分析教程》《无穷小分析教程概论》《微分计算教程》。柯西在他的1821年的著作的导言中说得非常明白，他希望给分析严密性，他指出对一切函数自由的使用那些只有代数函数才能有的性质以及使用发散级数都是不合法的。柯西从定义变量开始，变量的定义其实是困难的，虽然这是一个最为基础的概念，无法用其他概念对其进行解释。“人们把依次取许多不同的值的量叫做变量”。而对于函数——另一个数学上最为基础的概念，柯西是这样说的“当变量之间这样联系起来的

6、时候，即给定了这些变量中的一个的值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示的其他的量就叫做这个自变量的函数。”同样的，柯西也定义了无穷小量以及无穷大量并在他的《教程》中给函数的连续性下了定义。当然柯西的研究并不是完善的，他对于数学的严密性的研究也并不是完美的。实际上，用现代的标准来衡量，柯西著作中的严密性是不够的，他用了很多如“无限趋近”“想要多小就多小”等的措辞，更为可惜的是，他在定义函数连续性的时候，犯了一些错误。他说如果一个多变量函数分别对每个变

7、量都是连续的，那么它对所有变量都是连续的。这其实是错误的。用一个例子来说这个问题，当从x=a变到x=b时，这个函数取遍两个定量之间的中间值，但却不是连续的。而柯西的这个错误，之后被各大数学家所研究，他们一次又一次地改进，一次又一次的提高，终于由瑞士科学家查尔斯清楚明白的解释完全关于函数连续性的定义，发现函数连续性并不一定意味着可微性，函数可以有着一系列各种各样的反常性，其历史意义是巨大的。由此看来，直观的印象并不一定是正确的，而数学的发展也正是由这一次次严密地查找问题、发现问题、再解决问题而发展的。柯西的并不是一个很善于发现自己错

8、误的人，但是他在数学发展中所作出的贡献是不可磨灭的。如果说柯西是18世纪数学的代表数学家，那么我们可以欣喜的看到，数学研究的进步是显著的，18世纪和19世纪的数学发展的差距是较大的。数学严密性方面的发展也是显著的。此时，函数的研究也开始由一开始简单