漫波水舞之设计分析

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1、漫波水舞之設計分析逢甲大學機械系副教授林源堂摘要水舞是利用有簡諧運動(Simpleharmonicmotion)的噴水裝置，使噴出之水同時具有向上運動和水平運動的不穩定流場(unsteadyflow)，其動線(Streakline)為擺動的可變振幅之正弦函數曲線。數值分析結果顯示，簡諧運動的頻率愈大，水舞擺動的振幅也越大；噴水出口向上的速度愈小，可產生較多波數(Wavenumber)的水舞。由此可知較大的簡諧運動頻率搭配較小的噴水出口速度是設計多波數大幅度擺動之漫波水舞的基本條件。■365■物理雙月刊（廿三卷二期）2001年4月一、前言西方諺語說「一張圖勝過千言萬語」(Onepictureis

2、worthathousandwords)，流體力學中探討流體運動的情形更是如此，例如為了觀察流體從層流(Laminarflow)過渡成亂流(Turbulentflow)的現象，僅需在室內點燃一根香煙，以相機捕捉裊裊輕煙上飄的照片，就可看到有規律的絲狀煙開始向上飄是為層流，當絲狀煙被扭曲成團狀後破碎消失於無形，即為空氣由層流過渡成亂流之最佳寫照。流體運動的速度為觀察流體運動路徑之最有用的物理性質。流體運動路徑可分三類：流場中不同質點之速度的切線所連成之路徑稱為流線(Streamline)，流場中針對某一質點運動所經過之路徑稱為徑線(Pathline)，通過空間上某特定點的所有質點目前位置的連線即

3、為動線(Streakline)。若流體運動為不隨時間改變特性之穩定流(Steadyflow)，則流線、徑線和動線三者相同，流場觀測(Flowvisualization)和理論分析都較容易，若流體運動為隨時間改變特性之不穩定流(Unsteadyflow)，則流線、徑線和動線三者不同，分析流場的動線有助了解複雜的物理現象。一般噴水裝置多固定於地面，噴水以定速(穩定流)且垂直出口面的方向成直線形狀噴出，或是控制噴出速度，但其動線也是直線形狀，有些遊樂園安裝可移動之噴水裝置，使噴出之水柱動線為曲線形狀，即所謂之水舞以吸收更多遊客觀賞。雖然該噴水裝置搭配超大功率音響激發噴水，也無法獲得更多波數的水舞，其

4、高分貝的輸出音量反而嚴重影響寧靜的環境品質，水舞秀除了可以當作娛樂休閒活動外，也可用以探討不穩定流場之動態特性分析，而不穩定噴水流場的學理更可應用到設計高燃燒效率之焚化爐和噴射引擎等工業上的實際用途。■365■物理雙月刊（廿三卷二期）2001年4月本文擬以物理觀點推導不穩定流場的動線方程式，並分析動線方程式所描繪出的動線圖案以探討控制噴水擺動的幅度和波數的可能性。二、原理產生水舞的設備如圖一所示，由史考欽機構(Scotchyoke)噴水裝置和轉速控制器三部分組成。轉速控制器控制直流馬達轉速以帶動史考欽機構產生簡諧運動，噴水裝置被固定於史考欽機構上，使噴出之水在水平方向往復運動。改變直流馬達的轉

5、速可改變噴水出口水平方向的速度以改變水舞擺動的振幅，改變噴水出口的速度，可改變噴水的高度，再搭配適當的馬達轉速即可產生漫波(Multiplewaves)水舞。圖一水舞設備直流馬達噴水史考欽機構轉速控制器y圖二有往復運動之噴水流場往復運動之噴嘴圖二為有往復運動之噴水，假設噴水速度為：.(1)式中為直流馬達的轉速，改變會影響水平方向速度，為噴水出口向上的速度，可變更出水量Q以改變之。由流線定義知即積分後可得流線方程式：.(2)其中c為任意常數。當時間t=0通過原點(0,0)，則，由此可以得到t=0經原點的流線方程式為：…….(3)同理可知，當t=π/2通過原點時c=0，其流線方程式為：…………(4

6、)圖三通過原點之流線圖■365■物理雙月刊（廿三卷二期）2001年4月方程式(3)與(4)可畫出不同時間通過原點之流線，如圖三所示，由圖知其流線為具有正弦函數形狀的曲線。由徑線定義知，即，對時間t積分後，可得徑線方程式為：,..(5)當t=0經原點(0,0)時，，得其徑線方程式為：……………………(6)同理可知當t=時原點(0,0)時之徑線方程式為：,…(7)方程式(7)中的t-互相抵消後可整理成為：………………………(8)利用方程式(8)可畫出不同時間通過原點的徑線如圖四所示，由圖可知其徑線為直線形狀，不同時間經過原點的徑線為具有不同斜率的直線。圖四通過原點之徑線圖由於動線定義為通過空間上某

7、特定點的所有質點目前位置的連線，利用不同時間經過原點之徑線方程式，可找出經過原點的動線：(i)當t=0經原點：由方程式(5)得，其徑線方程式為，，再以t=0代入此徑線方程式，得到t=0經原點之質點目前位置為(0,0)。(ii)當t=經原點：由方程式(5)得，，其徑線方程式為，，再以t=0代入此徑線方程式，得到t=經原點之質點目前位置為()。(iii)當t=經原點：由方程式(5)得，，其徑線方程式為