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《数学建模淋雨量与跑步速度》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、淋雨量与跑步速度关系探究摘要当大雨来临时，人们总是习惯于拔腿就跑。摆脱困境的本能迫使我们加快速度，与此同时，日常经验又让我们很多人对跑得越快淋雨就越少这一点深信不疑。事实是否正如大多数人所想的呢？本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。在问题一中，因为已经假设雨淋遍全身，且速度为最大，所以由题目的已知条件，直接列方程求解。在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。并将该问题分为两部分解答，即：（1）雨从迎面吹来；（2）雨从背面吹来。同时绘制出第二部分的“淋雨量—速度”图像，方便于快速直观地得到两者关系。
2、解决该问题的过程中，本文利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，结合题目中的已知条件，列出方程求解。问题三是问题二的深入，将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法和问题二基本相同，只是增加了空间角，本质没有区别。本文的特点是在建立模型的基础上层层深入，配合图形，简单明了。同时，基于本文是建立在严谨的计算之上的，具有一定的可靠性，在很大程度上具有参考价值。关键词最优化原理动态模型速度选择淋雨量1.问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型是否跑得越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0
3、.2米。设跑步距离d=1000米，跑步最大速度=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量=2cm/h,记跑步速度为v，讨论以下问题：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度奔跑，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算=，时的总淋雨量；雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角是，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=时的总淋雨量。u图1图2cbcucb
4、baavvv以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对第二中情况作图，并解释结果的实际意义。（1）若雨线的方向与跑步方向不在同以平面内，模型会有什么变化？1.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。2.模型的假设和符号说明3.1模型的假设：（1）雨速为常数且方向不变；
5、（2）人体为一个长，宽，高都确定的长方体；（3）人体跑步速度不受其他因素影响；（4）降雨量在一定时期内为定值。3.2符号说明：a人体身高b人体宽度c人体厚度d跑步距离跑步最大速度u雨速降雨量v跑步速度同一平面内，雨从迎面吹来，雨线与人体夹角同一平面内，雨从背面吹来，雨线与人体夹角t全过程所花费的时间s面积Q淋雨量不同平面内，雨线与跑步方向的夹角雨线在人体正面所在平面内的分量与铅垂线的夹角3.模型的建立与求解4.1问题一：全身面积淋雨时间t=d/v=1000/5=200s降雨量=2cm/h=m/s淋雨量Q=st=2.2*200*/182.44升4.2问题二：4.2.1雨从迎面吹来：顶部
6、淋雨量=bcd/雨速水平分量u/(方向与v相反)合速度u/+v单位面积时间的淋雨量（u/+v）/u迎面淋雨量=abd(u/+v)/uv总淋雨量=bcdw/v+abdw(u/+v)/uv.在此式子中，只有v是变量，所以当v最大，即v=时Q最小，淋雨量最少。升，升。4.2.2雨从背面吹来合速度bdw[cucos+a(usin-v)]/uv,vusin总淋雨量Bdw[cucos+a(v-usin)]/uv,v>usin若ccos-asin<0,即：tan>c/a,则v=usin时，最小。否则，V=时，最小。（如下图）QQtan>c/atan0.2
7、/1.5,v=2m/s,0.24升最小，可与v=,0.93升相比。分析结果的实际意义可知，当雨从背面吹来，只要不太小，满足tan>c/a,即：>时，v=usin,最小。此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。4.3问题三：该问题中，只举例研究雨从正侧面吹来。设雨线与跑步速度方向夹角为。作图如下：顶部淋雨量=bcdwsincos/v雨速水平分量ucos(方向与v相反)合速度ucos+v单位面积时间的淋雨量（ucos+v）/u迎面淋雨量=abd(ucos+v)/uv
