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时间:2019-05-24
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1、代数综合题的解题方法米大毅沈洪博中考试题中,代数综合题经久不衰.代数综合题通常涉及数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容,所涉及的知识点多,覆盖面大,对数学素养要求很高.要解决这类问题,除了要具有扎实的基础知识、基本技能外,还需要有敏锐的观察能力、深刻的理解能力、娴熟的运算能力以及较强的综合运用知识的能力.解题过程中既要注意换元法(整体代入)、配方法、待定系数法等常见数学方法的娴熟运用,又要注意自觉运用数形结合、转化与化归、分类与整合、函数与方程等基本数学思想方法优化解题策略,学会抓住问题的实质,理清问题的层次,对所给问题提供
2、的信息能正确有效地进行分解、组合和加工,努力提高分析问题与解决问题的能力.例1.将正偶数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826..................根据上面规律填空:(1)2008应在第____行第____列;(2)位于第100行第二列的数是点拨:不难发现不大于2008的正偶数有1004个,注意到每行4个.另外通过仔细观察可以发现奇数行从左至右依次增大2,偶数行从右至左依次增大2,且第三列从上至下依次增大8.解答:(1)2008÷2÷4=251,
3、5;(2)4+99×8+2=798.归纳:数与式的规律性的探究题目是近几年来中考的热点题目,着重考查学生的观察、猜想、归纳等能力,要求学生有较强的数感,同时也是对学生数与式基础知识的一种检验.感兴趣的同学还可以探索更具一般性的结论,如:位于第行第列的数是多少?例2.某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量(件)与销售单价(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图1).(1)求与之间的函数关系式;4003006070Oy(件)x(元)(2)设公司获得的总利润(总利润总销售额总成本)
4、为元,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;根据题意判断:当取何值时,的值最大?最大值是多少?点拨:本题把产品销售问题与函数问题有机的结合在一起.第(1)问的解决需要利用待定系数法,第(2)问中,要注意条件“销售单价不低于成本价,又不高于每件70元”,进而正确的写出自变量的取值范围,并要注意它对二次函数最值的影响.解答:图1(1)(略解).(2)∴.其中50≤≤70.∵,<0.∴函数图象开口向下,对称轴是直线x=75.∵50≤≤70,此时随的增大而增大,∴当时,.归纳:应用问题有若干类型,可以与每一个数学问题进行综合,解答的关键是耐心、认
5、真地审题,明确题意,并把文字、图表等信息转化为我们熟悉的数学模型,再运用相关数学知识解决即可,当然,最后还要检查结论是否符合实际意义.例3.已知,如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式为,将抛物线平移后得到抛物线,若抛物线经过点(0,2),且其顶点A的横坐标为最小正整数.(1)求抛物线的解析式;(2)说明将抛物线如何平移得到抛物线;(3)若将抛物线沿其对称轴继续上下平移,得到抛物线,设抛物线的顶点为B,直线OB与抛物线的另一个交点为C.当OB=OC时,求点C的坐标.图2点拨:本题第(1)问考查了待定系数法求二次函数的解析式,另外要注意二
6、次函数图象的平移对二次项系数不产生影响;第(3)问中,通过仔细审题我们可以发现,原点是线段的中点,即两点关于原点成中心对称,若设顶点B的坐标为(1,m),则点C的坐标为(-1,-m),再运用方程的思想,可使问题迎刃而解.解答:(1)设抛物线的解析式为.∵点(0,2)在抛物线上,∴.∵抛物线的顶点的横坐标为1,∴.∴的解析式为y=-x2+2x+2.(2)∵y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,∴将抛物线:的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,可以得到抛物线.(答案不唯一)(3)设顶点B的坐标为(1,m),则抛物线的解析式为y=-(
7、x-1)2+m.∵OB=OC,且B、O、C三点在同一条直线上,∴点B与点C关于原点对称.∴点C的坐标为(-1,-m).∵点C在抛物线上,∴-m=-(-1-1)2+m.∴m=2.∴点C的坐标为(-1,-2).归纳:注意函数图象的图形变换对函数解析式的影响(即形的变化对数的影响),其中第(3)问启示我们若能恰当运用图形变换的思想及方程的思想、数形结合的思想,往往能将问题化繁为简,化难为易.例4.已知:某函数的自变量时,其相应的函数值.(1)请写出一个满足条件的一次函数的解析式;(2)当二次函数的解析式为时,求的取值范围;(3)过动点C(0,n)作直线
8、⊥y轴,点O为坐标原点.①当直线与(2)中的抛物线只有一个公共点时,求n的取值范围;②当直线与(2)中的抛物线相交于A、B两点时,是否存
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