代数综合题的解题方法

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1、代数综合题的解题方法米大毅沈洪博中考试题中，代数综合题经久不衰．代数综合题通常涉及数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容，所涉及的知识点多，覆盖面大，对数学素养要求很高．要解决这类问题，除了要具有扎实的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察能力、深刻的理解能力、娴熟的运算能力以及较强的综合运用知识的能力．解题过程中既要注意换元法（整体代入）、配方法、待定系数法等常见数学方法的娴熟运用，又要注意自觉运用数形结合、转化与化归、分类与整合、函数与方程等基本数学思想方法优化解题策略，学会抓住问题的实质，理清问题的层次,对所给问题提供

2、的信息能正确有效地进行分解、组合和加工，努力提高分析问题与解决问题的能力.例1．将正偶数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行2468第二行16141210第三行18202224第四行32302826..................根据上面规律填空：（1）2008应在第____行第____列；（2）位于第100行第二列的数是点拨：不难发现不大于2008的正偶数有1004个，注意到每行4个．另外通过仔细观察可以发现奇数行从左至右依次增大2，偶数行从右至左依次增大2，且第三列从上至下依次增大8．解答：（1）2008÷2÷4=251，

3、5；（2）4+99×8+2=798.归纳：数与式的规律性的探究题目是近几年来中考的热点题目，着重考查学生的观察、猜想、归纳等能力，要求学生有较强的数感，同时也是对学生数与式基础知识的一种检验．感兴趣的同学还可以探索更具一般性的结论，如：位于第行第列的数是多少？例2．某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图1）．（1）求与之间的函数关系式；4003006070Ｏy(件)x(元)（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）

4、为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？点拨：本题把产品销售问题与函数问题有机的结合在一起．第（1）问的解决需要利用待定系数法，第（2）问中，要注意条件“销售单价不低于成本价，又不高于每件70元”，进而正确的写出自变量的取值范围，并要注意它对二次函数最值的影响．解答：图1（1）（略解）．（2）∴．其中50≤≤70．∵，＜0．∴函数图象开口向下，对称轴是直线x=75．∵50≤≤70，此时随的增大而增大，∴当时，．归纳：应用问题有若干类型，可以与每一个数学问题进行综合，解答的关键是耐心、认

5、真地审题，明确题意，并把文字、图表等信息转化为我们熟悉的数学模型，再运用相关数学知识解决即可，当然，最后还要检查结论是否符合实际意义．例3．已知，如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式为，将抛物线平移后得到抛物线，若抛物线经过点（0，2），且其顶点A的横坐标为最小正整数．（1）求抛物线的解析式；（2）说明将抛物线如何平移得到抛物线；（3）若将抛物线沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线，设抛物线的顶点为B，直线OB与抛物线的另一个交点为C.当OB=OC时，求点C的坐标．图2点拨：本题第（1）问考查了待定系数法求二次函数的解析式，另外要注意二

6、次函数图象的平移对二次项系数不产生影响；第（3）问中，通过仔细审题我们可以发现，原点是线段的中点，即两点关于原点成中心对称，若设顶点B的坐标为（1，m），则点C的坐标为（-1，-m），再运用方程的思想，可使问题迎刃而解．解答：（1）设抛物线的解析式为.∵点（0，2）在抛物线上，∴.∵抛物线的顶点的横坐标为1，∴.∴的解析式为y=-x2+2x+2.（2）∵y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3，∴将抛物线：的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到抛物线.（答案不唯一）（3）设顶点B的坐标为（1，m），则抛物线的解析式为y=-(

7、x-1)2+m.∵OB=OC，且B、O、C三点在同一条直线上，∴点B与点C关于原点对称.∴点C的坐标为（-1，-m）.∵点C在抛物线上，∴-m=-(-1-1)2+m.∴m=2.∴点C的坐标为（-1，-2）.归纳：注意函数图象的图形变换对函数解析式的影响（即形的变化对数的影响），其中第（3）问启示我们若能恰当运用图形变换的思想及方程的思想、数形结合的思想，往往能将问题化繁为简，化难为易．例4．已知：某函数的自变量时，其相应的函数值．（1）请写出一个满足条件的一次函数的解析式；（2）当二次函数的解析式为时，求的取值范围；（3）过动点C(0,n)作直线

8、⊥y轴,点O为坐标原点．①当直线与(2)中的抛物线只有一个公共点时,求n的取值范围；②当直线与(2)中的抛物线相交于A、B两点时，是否存