高等代数的解题方法探讨

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1、Vol.10,No.1高等数学研究Jan.,2007STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS913高等代数的解题方法探讨余航(桂林师范高等专科学校数学系广西桂林541001)摘要在高等代数的解题过程中,若能针对具体情况,引入数学方法论中的RMI方法、叠加法、抽屉原理,或借助于微积分学中的个别结论,某些问题将迎刃而解.关键词数学方法论;RMI方法;叠加法;抽屉原理;微积分中图分类号O151.2高等代数是大学数学专业的一门重要的基础课程,它是中学代数的继续和提高,高等代数课程理论抽象严谨,解题方法灵活多变,因此,如何在教学中引导学生自觉地体会总结,运用本课中常用

2、的方法,淡化特技,提倡解题“通法”,就显得犹为重要.1从数学方法论的角度探讨1.1RMI方法数学方法论中的关系映射反演方法(简记为RMI)可简述如下:给定一个含有目标原象x的关系33结构S,如果能找到一个可定映映射φ,将S映入或映满S,则可从S通过一定数学方法把目标映象3-1-13x=φ(x)确定出来,进而通过反演φ把x=φ(x)确定出来;这样,原来的问题就得到解决.利用RMI方法解决问题的过程可用框图表示,如图1.图1RMI方法解题过程图图2例1用图3例1以二次型f(x1,x2,⋯,xn)及非退化线性替换为原象关系结构S,以矩阵为映象关系结构S,有:φ:f(x1,x2,

3、⋯,xn)

4、vf的矩阵A,问题:两复二次型等价的判断.解决过程如图2.RMI方法不仅通过映射解决了原来的特殊问题,还建立了一个普遍的模式:在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立一种“对应关系”即定义一个映射.1.2叠加法欲求解一个被诸多因素制约的较复杂的数学问题(以下简称原问题)时,可在原问题中依次仅选取一个因素依题意变化,其余因素均置于某种特殊状态(初始状态).这样,就得到一个特殊的子问题,即可将原问题分解为这些子问题的组合.则逐一求出这些子问题的解后,再将所得的解按原来的分解方式逆向叠加,即得到原问题的解.这种方法即为“叠加法”.例2设α1,α2,⋯,αn是数域F

5、上n维线性空间V的基,β1,β2,⋯,βn是V中的任意n个向量,则V中存在唯一的线性变换σ,使:σ(αi)=βi,(i=1,2,⋯,n).3收稿日期:2005-08-15.92高等数学研究2007年1月分析欲求的σ被条件σ(αi)=βi,(i=1,2,⋯,n)所制约,依“叠加法”可以考虑先依次构造这样的变换σi,使σi(αi)=βi,σi(σj)=0,(i≠j,i=1,2,⋯,n).证明设σi(i=1,2,⋯,n)是如上构造的线性变换.令:σ=σ1+σ2+⋯+σn,则σ也是V上的线性变换.且对任意α=x1α1+x2α2+⋯+xn∈V,有σ(α)=σ(x1α1+x2α2+⋯

6、+xnαn)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+⋯+xnσ(αn)=x1β1+x2β2+⋯+xnβn.特别地σ(σi)=σi(σi)=βi,(i=1,2,⋯,n).唯一性证明略.这种证法具有较强的直观性和自然性.在高等代数内容中,存在着大量的“多因素组合”构型,这就给“叠加法”提供了广阔的用武之地,在它的运用中主要体现了一种思想:化繁为简,化整为零,逐一解决,叠加汇总.1.3抽屉原理抽屉原理是指,如果把n个物品放进m(m

7、一个集合至少含有两个元素.ii+1i+2例3设A为n阶方阵,证明:存在1≤i≤n,使铁(A)=秩(A)=秩(A)=⋯.02nn+1证明因为n阶方阵的秩只能是0,1,2,3,⋯n这n+1个数之一,令E={A,A,A,⋯A,A}.kl显然E的个数多于铁的个数.利用抽屉原理,存在k,l满足1≤k≤l≤n使秩(A)=秩(A),但kk+1lkk+1秩(A)≥秩(A)≥⋯≥秩(A),所以秩(A)=秩(A).利用此式与秩的性质得:秩(ABC)≥k+m秩(AB)+秩(BC)-秩(B),这里的A、B、C是任意三个可乘矩阵.再用数学归纳法可证:秩(A)k+m+1=秩(A),m为非负整数.故命

8、题结论成立.从上例中可以看出,在高等代数中利用抽屉原理可以使某些看似很难的问题迎刃而解.利用抽屉原理解数学问题,关键是要设计好抽屉及抽屉的数量.2从微积分的角度探讨微积分是数学分析的一个重要内容,数学中有些问题本身体现了数学分析与高等代数的联系,所以在解法上自然就有渗透.例4二次型f(x)=X′AX,其中A=(aij)为n阶实对称阵,X=(x1,x2,⋯,xn)′.证明:1(ⅰ)若aij=,则

9、A

10、>0.i+jaij(ⅱ)若A为正定矩阵,则B=()也是正定矩阵.i+j∞-ax1-ax∞分析将数学分析中一个典型无穷积分edx=-