江苏省2019届高考数学专题五函数、不等式与导数5.5专题提能—“函数、不等式与导数”讲义

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1、第五讲专题提能——“函数、不等式与导数”专题提能课　失误1因忽视二次项系数的讨论而失误　　[例1]　不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．[解析]　当a＝0时，满足题意；当a≠0时，必有解得0

2、(0,2]．[答案]　(0,2][点评]　没有注意到指数函数本身的范围，错将答案写成(－∞，2]．复合函数求解时要注意外层函数本身的有界性.失误3因极值概念理解不准确而失误　　[例3]　已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.[解析]　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，又函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，所以解得或经验证，当a＝4，b＝－11时，满足题意；当a＝－3，b＝3时，不满足题意，舍去．所以a＋b＝－7.[答案]　－7[点评]　函数极值点概念不清致误，忽视了

3、条件的等价性，“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根.失误4因方法的本质理解不到位而解题受阻　　[例4]　已知x＋y＝1，x>0，y>0，则＋的最小值为________．[解析]　法一：因为x＋y＝1，所以y＝1－x

4、，消元，得原式＝＋，令f(x)＝＋，则f′(x)＝－＋＝.由f′(x)>0，得

5、_______．[解析]　由4y－＝1，得x＋2y＝4xy，即＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝1＋＋≥1＋2＝2.当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．所以x＋2y的最小值为2.[答案]　2[点评]　(1)本题先将已知条件改写为“＋＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，将“1”进行代换，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求最值．(2)常数代换法求解最值的关键在于常数的变形应用，利用这种方法求解最值应注意以下三个方面：①条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；②已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的基础；③利用基本不等

6、式求解最值时要注意“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解.策略2构造法：解决与导数有关的不等式问题　　[例2]　已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)＜f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)＜ex的解集为________．[解析]　因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)的图象关于x＝0对称，所以f(x)的图象关于x＝2对称．所以f(0)＝f(4)＝1.设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝.又f′(x)＜f(x)，所以g′(x)＜0(x∈R)，所以函数g(x)在定义域上单调递减．因

7、为f(x)＜ex⇔＜1，而g(0)＝＝1，所以f(x)＜ex⇔g(x)＜g(0)，所以x＞0.[答案]　(0，＋∞)[点评]　(1)本例构造函数g(x)＝，然后利用导数研究函数的单调性，进而求解．(2)解决与导数有关的不等式问题，多结合已知和所解不等式特征构造相应的函数．求导的法则是构造函数的依据，需要熟记一些常用的结构，如：①xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′，xf′(x)－f(x)→′；②f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′，f′(x)－f(x)→′等．　1．数形结合思想——解决方程的根或函数零点问题[例1]　已知直线(1－m)x＋(3

8、m＋1)y－4＝0所过定点恰好落在函数f(x)＝的图象上，若函数h(x)＝f(x)－mx＋2有三个不同的零点