双曲函数公式

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1、恒等式与双曲函数有关的恒等式如下:cosh^2(x)-sinh^2(x)=1coth^2(x)-csch^2(x)=1tanh^2(x)+sech^2(x)=1*加法公式：sinh(x+y)=sinh(x)*cosh(y)+cosh(x)*sinh(y)cosh(x+y)=cosh(x)*cosh(y)+sinh(x)*sinh(y)tanh(x+y)=[tanh(x)+tanh(y)]/[1+tanh(x)*tanh(y)]*减法公式：sinh(x-y)=sinh(x)*cosh(y)-cosh(x)*sinh(

2、y)cosh(x-y)=cosh(x)*cosh(y)-sinh(x)*sinh(y)tanh(x-y)=[tanh(x)-tanh(y)]/[1-tanh(x)*tanh(y)]*二倍角公式：sinh(2x)=2*sinh(x)*cosh(x)cosh(2x)=cosh^2(x)+sinh^2(x)=2*cosh^2(x)-1=2*sinh^2(x)+1*半角公式：cosh^2(x/2)=(cosh(x)+1)/2sinh^2(x/2)=(cosh(x)-1)/2双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osb

3、orn'srule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x)*sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如*三倍角公式：sin(3*x)=3*sin(x)−4*sin(2*x)sinh(3*x)=3*sinh(x)+4*sinh(2*x)反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数.它们的定义为:arsinh(x)=ln[x+sqrt(x^2+1)]arcosh(x)=ln[x+sqrt(x^

4、2-1)]artanh(x)=ln[sqrt(1-x^2)/(1-x)]=ln[(1+x)/(1-x)]/2arcoth(x)=ln[sqrt(x^2-1)/(x-1)]=ln[(x+1)/(x-1)]/2arsech(x)=±ln[1+sqrt(1-x^2)/x]arcsch(x)=ln[1-sqrt(1+x^2)/x],如果x<0ln[1+sqrt(1+x^2)/x],如果x>0其中,sqrt为squareroot的缩写,即平方根双曲函数与反双曲函数的导数(sinh(x))'=cosh(x)(cosh(x))'

5、=sinh(x)(tanh(x))'=sech^2(x)(coth(x))'=-csch^2(x)(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)(csch(x))'=-csch(x)coth(x)(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1)(x>1)(arctanh(x))'=1/(1-x^2)(

6、x

7、<1)(arccoth(x))'=1/(1-x^2)(

8、x

9、>1)双曲函数与反双曲函数的不定积分∫sinh(x)dx=cosh(x)+c∫cosh

10、(x)dx=sinh(x)+c∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c∫coth(x)dx=ln

11、sinh(x)

12、+c∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2∫csch(x)dx=ln

13、coth(x)-csch(x)+

14、c=ln

15、tanh(x/2)

16、+c∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh

17、x

18、+c=ln

19、x+sqrt(x^2-1)

20、+c(sgn是符号函数.sgn(x)=x/

21、x

22、,x≠0;sgn(x)=0,x=0)