让经典继续流行 让流行成为经典——一道经典三角题的证明、变式与推广

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1、·16·中学数学研究2015第1期iii)c=o时’5。6≤75．当且仅当口=6’6-成正时等号成立．．参考文献三)当非负数a，b，c有两个为零时，5ab+12bc[1]宋庆．不等式证明中的智巧．中学数学研究(江西)，+13ca：0．2014，4．～综合上述证明可知：在题设条件下，该猜想成立．当且仅当=180~[n=6，c=，6=0时等号●●●●●It●}tIt●●t●tt．．Ec—●●■‘1让经典继续流行让流行成为经典——一道经典三角题的证明、变式与推广江西省鹰潭市第一中学(335000)桂有良19

2、83年第17届苏联数学竞赛十年级的一道三+77"·角问题，题设简洁，思考角度非常丰富，经过数十年分析二：若沿着两角和正弦公式，结合代数式的的积淀成为经典．文[1]指出文[2]中的证明错误变形(配方和分拆)得下列证法．并给出一个新的证明方法．现笔者从不同角度对此证法二：由sinot(sina—c0)+si(si一题进行剖析其变式并加以推广．1题目c湖)=0，又’．‘，JB∈(0，77")，．·．si+c。s≠0，已知，卢∈(0，)，且sin+sin卢=sin(ot+故原式可化为sina(sinoz—c0

3、)+si。盟(监÷：0，即inot(in一卢)，求证+=．sinB+cos)’’2证明c。)+si=O,sina(sin—分析一：题目条件中只涉及角OL，，+卢的正眩，且次数不等，可考虑利用两角和的正弦公式展c+si-o，(sin—开，齐次化后变形．证法一：由sin+sin卢=sin(O／+)得，c。sin淄]_0，n+sina(sinot—co)+sire(sir一c0s)=0，即si>o，n．c。．0，+sinot[sina—sin(詈一卢)]+si[si一sin(詈一JB=予．)]=0，和差化积

4、得【sinacos(+手)+分析三：由于题目条件少，可考虑从反面突破，利用反设结论不成立，增设条件加以证明．sic。s(+7／")]sin(一手)=0．又．，证法三：假设结论不成立．即+>7T或+J8∈(0，T／")，一卢∈(一71"，手)，故77"±生∈<71"成立．若十卢>手，则0<号一卢<<詈，(0，手)，os(手±)>0．所n(一0<17"一<卢<号，故sin71"一卢)

5、inOt>2015年第1期中学数学研究·l7·sinacosfl，+：cosa>siH言=∞sin(+卢)．+s卢>c。s(一斗)，∈(0，芋)，则厂()=2sinc。s+同理当O／+卢<—,／r时，sin。+sin2fl0，而)=+cosasinfl=sin(O／+)，均与已知矛盾．因此假设0，故=手不成立，故+=．变式6已知∈(0，7／")，且sin一寺：评注：由以上证明可得结论：若，∈(o，)，cos(0【+要)，求角则sin。

6、+sin卢：sin(a+卢)的充要条件是+=变式7己知∈(o，71")，且sin一寺=2‘3变式sin(一詈)，求角经典数学问题有着自己独特的、丰富的内涵、韵4推广味，其价值不仅仅是这些．我们还应该从经典中创如果我们在数学解题中，只注重解决“是什么?新，让它焕发出新时代的气息．下面笔者用变化的眼为什么?”，忽视思考“问题还有什么?”，这无异于光，用探究的意识，对经典数学问题创设不同的变“入宝山而空返”．因此，解决数学问题时，需要对问式，包括解题思维的变化．’题多做一些思考．笔者经过琢磨，其一：可以构造

7、一变式1已知，卢∈(0，芋)，且e。s+c。s卢个内角分别为，，仃一(0c+)的三角形，则此题条件具有特殊性，即为勾股定理的弱化形式．其二：条=sin(+)，求证+=詈．件中三角函数的指数是否还可以进一步一般化呢?由此给出本题的三个推广．变式2已知，∈(0，5-)，且sinz+COS2~推广1设，∈(0，)’，如果存在实数P∈=c。s(一)，求证=卢·[0,2]，使得sinOt+sin：sin(Ol+卢)成立，那么变式3已知，卢∈(0，号)，且c。s+c。sa+卢=．77"=sin—c。+1=c。s(

8、一卢)，求证=卢=．．证明：．’，卢∈(0，)，．·．，卢，仃一(0c+卢)构变式4已知∈(0，7／")，且sin．2+寺：成三角形的三内角．不妨设a,b、c分别是此三角所对的边长，则sin+sin=s(+)≥sin(sin(+詈)，求角Or．+)=sin[7r一(+卢)]，由正弦定理，得口+b变式5已知0[∈(0，了7／")，且sin2+÷=≥c．又由余弦定理，有COS[仃一(+)]=c。s(一手)，求角≥0．故+≥詈；‘．’sin+sin=解法1：(