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《对数变换的问题及其改进》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1996年第2期对数变换的问题及其改进耿鸿江(黑龙江水利高等专科学校),摘要在用时数变换方法使幕函数或指数函数的曲线拟合线性化时人们往往忽视这样的问题:(l)哪些模型结构可以采用对数变换;(2)对数变换会不会改变模型残差的一些性质;(3)这种化曲为直的回归方法估计出的原模型中的参数是否具有无偏性和有效性。针对上述问题做了较为深入的探讨,并提出了相应的改进方法。关键词曲线拟合时数变换最小二乘法(:l)式的总体模型有下述两种情形目叮贡,一。xlx2⋯x·。4)。{:(:在工程中常常对实测或统计数据做曲线拟,=召_x刀,x,
2、x口,+。(5)合。对于下列幂函数曲线全⋯,一。。二1二2二(4)式的残差项。和y的关系为乘积型{:⋯:(l)的,。和y的关系为加和型,了一0,1,。(5)式的残差项式中b心一川为待定参数一般,的只有对(4)式两边取对数才能得到(3)通过对数变换把它转化为下列直线形式,即从,式的形式理论上说只有残差为乘积型。【,,,l即一lgb+blgx+⋯+blgx(2),的幂函数才可以用对数变换方法使其线性化然后用普通最小二乘法率定(2)式参数,加和型的模型结构((5)式)的对数变换是,以此确定(l)式参数的估计值这样就可求。由于
3、￡得不出线性回归模型((3)式)的。得原变量间的幂函数关系了是不可预测的,￡和,y的关系事先很难确知这种化曲为直的方法把非线性回归问题转。需要通过剩余分析来作出判断化为线性回归问题,避免了复杂的非线性最小2.2误差结构的问题,。二乘法求解简便易行但是用这种方法估计:E(“,“j)一0(i线性回归模型(3)式假定,参数在理论和实用上都存在一些问题在有的笋j,E、‘,ar。,ar。2)()二0V()=V()=⋯情况下,这些问题较为突出,不能等闲视之。,。,’二Far-为常数即要求残差独,(气)扩本文将从回归分析理论出发较为
4、详细地剖析、、这些问题,并提出相应的改进方法。立正态同分布各自分布均为N(,a02对数变换存在的问题,对于乘积型结构由(4)式得2.1。二’2·。模型结构的问题*一刀二⋯二{::在上述的两个表达式中忽略了一个重要的,。。声_,凡刀_50o,’.l+:,一pxx一X()残差项(2)式的总体模型为”卫‘F,。。1,’,,“。月尹刀l一19+刀lgx+二+lgx+(3)_0-￡/a即口刀p,厂+一XXX(4)UI‘⋯Pl3,:。:,。/。】2·。。,式中一一1一刀二二⋯x从而原模型的普通最小二乘法的准则函数为{::J,。,,
5、n,x、;。,,’(户户)一mi艺厅一*(刀刀)]得。,x,,x,,,,l即一19刀+刀lg+⋯+刀lg分=l2⋯尹)(6)+19(l+。。)(4b)对数变换后普通最小二乘法的准则函数为Z。,‘。。:,J(,)一min[l即假定E[19(l+)]=则有户户艺,l即。+“+1,+一llgx,;。j’=(19刀)产1罗⋯即(刀刀)],,。’e,,,+声lgx+(4)Q=l2⋯尹)(7),y,。’。。。。·根据微分原理可得到原变量的离差与式中一19(l+)一E[19(l+)1变换变量1即的离差的关系为,由(5)式对于加和型结
6、构得r一‘,一,△,,,一0’二2·+。lar勿、,对:⋯:粤臀。二’二2二·一刀{:⋯【1+’(sa)(In10):命从而气即=一一~犷~6(8)。,x。。。,x,l即=19刀+Plg十+刀lg,由于’(hi10)为常数因此对数变换后的,几.、一刀八一价‘C:.+19【l+一召
7、*l*(sb一尸口J口匕一VX))准则函数(7)式等价于、n,;,,;。,,’假定‘g「‘+,,,(刀刀)一min厅一,(二刀刀)一命则有艺尖yil即=19口。++⋯+吞,l,gx,,,心=l2⋯夕)(9)+。”(sc),可见对数变换后普通最
8、小二乘法准则相,(l)在上述两个幂函数总体模型中如当于原变量相对残差最小二乘准则。由(8),,‘E(的,果=0且同分布那么乘积型模型结式可知如果判定lgy~lgx域内模型的残差a,。;。‘。’’,e,,构(4)式中F()一[君妙)](4)式为同分布依此估计原模型的参数就会造。’,ar。‘。’;y~x中百()=oF()一(常数)而加和成域内模型的残差不是同分布(异方差,。,‘’性)其残差标准差一般也偏大所以用对数。“;。型模型结构的对数变换(5)式v()变换方法估计原模型的参数并不满足方差最小随E。可见对数变换改变了伽)
9、的减少而增大,即。的原则不具有有效性。模型残差的方差性质2.3.2有偏性(2)如果原模型的。服从正态分布,则,对比(3)式和(4c)式发现用对数变换后。’和。’‘,反对数变换后均不服从正态分布。。普通最小二乘法估计的户是有偏的假之亦然(如果。‘和。“服从正态分布,则。如(3)式(自然对数)残差是独立、正态且。服从对数正态分布)这种
