例谈隔项递推数列通项公式的求法

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1、高中数学教与学2010年。解题思路与方法。例谈隔项递推数列通项公式的求法索云旺廖爽田丽王文英(北京市第八十中学，100102)(北京市朝阳教育研究中心，100028)近几年全国各省市高考中，出现了不少4，5，⋯型的递推数列求通项公式也都可用迭隔项递推数列求通项公式的题目，从各省市代法求解．n一。：d可用累差法，：q阅卷情况看，学生得分不很理想，对此笔者选取部分考题进行归类，探讨其求解思路和方可用累商法分别求解．但也均需对n分奇数、法，供参考．偶数讨论，相比之下，直接运用等差数列通项公式求解，更方便、简捷．另外，本解法中用换类型1口一0一2=d，

2、n=3，4，5，⋯，元法将。，n统一成n=n+(一I)的形——：=q，／7,：=3，4，5，⋯’一．·式的方法是一般方法，一个数列的通项公式这是隔项递推数列最简单也最基本的递是否必须统一，应视题目情况而定，没有统一要求．推公式，一般用等差(比)数列通项公式直接例2(2007年湖北高考题)已知数列求解．}口}和{b}满足：口=1，口=2，a>0，b=例1(2002年天津高考题)已知{。}是由非负整数组成的数列，满足。。=0，o：=3，。o(n∈N)，且{b}是以q为公比的等比数列．0=0+2，n=3，4，5，⋯，求数列{n}的通项公式．(1)证明

3、：+2：0g2；(2)求数列{n}的通项公式．分析由。=o+2，易知奇数项Ⅱ，17,一，0，⋯．是以0为首项，2为公差的等差解(1)由=q，有数列，偶数项a，o，⋯是以3为首项，2为公差~／an十in十2口n+2的等差数列．——=二—■==-g，~／口n0n+l~／n口2—l=Ⅱl+2(k一1)=2(后一1)，’．．0=aq(17,∈N)．02=02十2(k一1)=2k+1，．其中k=1，2，3，⋯．(2)’．’。=。q，．·．=q，易知奇数如何把n：，n统一成一种形式呢?项Ⅱ。，n，，0，⋯，是以1为首项，公比为q的等令2k一1：n，则．i}

4、=，。：比数列；偶数项。，n，。，⋯，是以2为首项，公比为q的等比数列．2(一1)：一1a=n一1(为奇·．．02一1=0l·(q)一=q一；数)；同理o：n+1(n为偶数)．c2c2·(q)一=2q、．所以，。={L：n：+：l(：n力1禺致；)：．=或0=n+(一I)“．类型2r上一r上一=，(n)(n=3，4，⋯)，评注对。-an_2=d或老：g，n=3，：)(：3，4,--．)．·14·第9期高中数学教与学这类递推公式与n一。=n)(n=2，当n为偶数时，3，4，⋯)，：n)(n：2，3，4，⋯)求通项Ⅱ=“n一1乏×若××．“×詈公式

5、类似，一般都可用迭代法，累差法、累商=2×2一×2“一4×⋯×24×2法．1==2(一)(一)”=2：例3(2004年全国高考题)已知数列当n为奇数时，{口}中n1=1，且02=口2—l+(一1)，02+l=o2+3，其中k=I，2，3，⋯．口：××>(．_．××。l0n20n40n6Ⅱl(1)求口3，n5；～一一(2)求{n}的通项公式．=2×2一。×2_4×⋯×2×1i=!)f11解(1)02：nl+(一1)=0，03=r上2+=2’(一0，(n-4)⋯=2．3=3，口4：n3+(一1)=4，5=口4+3=r2(n为偶数)，13．所以，n3

6、=3，05=13．故．0={((2)‘．。Ⅱ2+l=口2^+3【2(n为奇数)．=n2—l+(一1)+3，评注例3、例4也可用迭代法求解，但‘．．口2+l一。一l：3+(一1)．从求解过程来看，不论用什么方法求解，一般同理2—I一口2一3=3I1+(一1)_。，需对分奇数和偶数两种情况讨论，这是问题本身决定的．03一a13+(一1)·类型30+0：n)，8+l0：，(n)．’．．(0+J一0一J)+(一J一02士一3)+⋯+这类递推关系式近几年各类考试出现较(。3—0I)=(3+3一+⋯+3)+[(一1)+多，事实上是针对n一。：)，：(一1)

7、+⋯+(一1)]，U·3(3n)而提出的，所以向这两类递推转化是求一．．‰。=1)+吉[(一1)一1]，解的方向．．．·’．·。2㈨：丁++÷(一1l)_)n_—1L_例5已知数列{n}中，o。：1，n=4，且0+a=3n+2，求数列{口}的通项公02^=o2—l+(一1)式．=等+1(_1)一l+(_1)思路1与。一o=n)这类递推公式比较仅一个符号之别，所以向这类递推公=等+1(_1)．1．式转化是解题方向，通常用(一1)来实现这所以，}a}的通项公式为a=个转化．f．3Dz-+(一1)×1—1(为正奇数)在口+0=3n+2两边同乘以(一1

8、)”f+(一)×一(n为正奇数)，，得口+。(一1)¨一(一1)“口【32+(一1)詈×一l(n为正偶数)．=(3n+2)(一1)“．①例4已知数列}